培优03 三角函数的最值与值域问题（技巧解密+8考点）（专项训练）数学人教A版2019必修第一册

培优03 三角函数的最值与值域问题 题型1 求正弦型三角函数的值域 1 理解正弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据最小正周期可以求出参数，再结合函数的单调性求出最值. 【详解】化简原函数得，即 由函数的最小正周期为，可得，所以. 因为，所以时，则， 由，得，， 所以，故选A. 2（25-26高一上·全国·单元测试）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出，进而得出函数的解析式，再利用函数性质求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期是以及， 所以由，则， 设图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象， 则， 由图象关于原点中心对称可知，， 又，所以， 所以， 当时，， 所以 所以原函数在区间上的值域为， 故选：D. 3（24-25高二下·浙江宁波·期末）若对，不等式恒成立，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的值域可得当时，，当时，，设，由的单调性及对称性可知，继而即可求解. 【详解】，所以，， 所以当， 即时，， 当，即时，， 所以当时，， 当时，， 设， 则在上单调递减，在上单调递增， 且的图象关于直线对称， 所以， 所以，即， 又，故. 所以. 故选：. 4（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 【答案】D 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 5（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（   ） A．若，则的值域为 B． C．，都有 D． 【答案】A 【分析】先由图象确定的值，再根据周期求出，然后结合特殊点求出，得到函数表达式后逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知，函数的最小值为，因为，所以.   观察图象可知，（为函数的周期），那么. 根据正弦函数的周期公式，可得.   此时函数为，已知函数图象过点，将其代入函数可得，即. 因为，所以，解得，故选项D正确.   综上，函数.   分析选项A，当时，，则. 令，函数，. 当，即，时，； 当，即，时，. 所以的值域为，选项A错误.   分析选项B，将代入可得：，选项B正确.   分析选项C，因为，所以，. 对于，，选项C正确. 故选：A. 题型2 求余弦型三角函数的值域 1 理解余弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的范围直接去求的范围即可. 【详解】，，， ，， ，即， 函数，的值域为. 故选：D. 2（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弦函数的性质分类去绝对值符号，进而可求值域. 【详解】， 所以函数的值域为. 故选：B. 3（2023·湖南·一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据对称可得，进而根据整体方法求解最值即可. 【详解】在的图象上任取一点，它关于的对称点为. 故点在的图象上，从而. 当时，，由在上单调递减可知： 在区间上的最大值为， 故选：B. 4（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据已知条件得出，从而得出，平移变化得到，分析在上的单调性，得到最大值点在区间左端，从而求解. 【详解】已知函数，最小值，最大值， 且的最小值为. 函数取最大值和最小值时，相位差为的奇数倍， 故最小相位差为，对应最小距离： . 验证：时，取最大值时，如； 取最小值时，如. 距离为，符合条件. 所以 的图象向右平移,得. 纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象， 得. 当时，计算角的范围：， 在上，在上递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：1. 题型3 求正切型三角函数的值域 1 理解正切函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正切函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答. 【详解】， 作出的图象，如图，观察图象， 对于A， 的最小正周期为，故A错误； 对于B，的值域为，B错误； 对于C，的图象没有对称中心，C错误； 对于D，不等式， 即时，得， 解得， 所以的解集为，故D正确. 故选：D. 2（2023·陕西咸阳·模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换以及三角函数的奇偶性求得，根据三角恒等变换以及三角函数值域的知识求得正确答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到， 由于是偶函数，所以， 由于，所以， 所以， 由于，所以，所以. 故选：A 【点睛】求解三角函数图象变换有关的题目，关键点有两个，一个是“左加右减”的理解，另一个是的影响.求解三角函数值域有关的题目，需要先按照三角恒等变换的公式进行化简，然后再根据角的范围求得相应的值域. 3（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值是 D．函数的单调递增区间为 【答案】ABD 【分析】由三角函数的周期公式可判断A；由正切函数的定义域可判断B；由正切函数的性质可判断C；通过求正切函数的单调区间可判断D. 【详解】对于A，由周期公式得到函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，由得，，故此时函数单调递增， 故最大值为，故C错误； 对于D，由，得， 所以函数的单调递增区间为．故D正确. 故选：ABD. 4（25-26高一下·河南南阳·期末）若不等式在恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断的符号，再去绝对值化简得：，故问题转化为在上恒成立问题，再根据函数性质求解即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 不等式在恒成立 ∴ ， ∴. 故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数的符号等，考查运算呢管理，是中档题. 题型 4利用辅助角公式求值域 1 辅助角公式 ，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配： 型，配：， 2 遇到类似型函数，通过三角恒等变换的方法把函数形式变成，再利用三角函数的性质求解最值或值域。 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。 1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简函数的解析式，然后根据是奇函数求出的值，然后根据正弦函数的性质和的范围确定的最大值. 【详解】因为， 所以. 因为为奇函数，所以. 所以. 当时，， 所以， 所以的最大值为. 故选：D. 2（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由题可将化为，其中，然后可得答案. 【详解】 ，其中， 则当时，取最大值. 故选：C 3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用放缩可知最小值，利用辅助角公式可知最大值，然后计算即可. 【详解】因为，，所以 ，当且仅当时，取最小值. 又， 其中，，. 所以当且仅当时，取最大值. 所以. 故选：C. 4（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简函数的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，则， 此时，， 所以，函数的值域为，即，， 因此，函数最大值与最小值之差为. 故选：C. 5（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 题型 5 与二次函数复合函数的值域 遇到求类似或型函数的最值，可利用，把函数中三角函数名变成一样的，把问题转化为二次函数的最值问题 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。 1（24-25高二下·浙江·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦二倍角公式整理函数，利用换元法，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】由，令，则， 由，则函数的值域为. 故选：C. 2（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由正弦二倍角公式，即换元得到，即可求解. 【详解】 ， 令， 可得： ，易知对称轴为， 所以当时，取到最小值0， 故选：A 3（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．－4 B．2 C． D．－2 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角的公式化简得，由二次函数的性质即可求解最值. 【详解】由得， 令 则， ，对称轴为， 故当时，取最小值, 故选：A 4（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得，结合的取值范围，求式子的值域即可. 【详解】令， 得． 因为，所以. 所以， 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为：. 所以. 故选：C 5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值. 【详解】 ， 设， 则的开口向下，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以， 也即的最大值为. 故选：A 6（2022·四川·模拟预测）已知函数，给出下列结论： ①的最小正周期为：         ②是奇函数： ③的值域为；           ④在上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①，画出函数图象可以判断最小正周期；②，利用定义判断奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入检验判断单调性. 【详解】，画出函数图象如下： 显然的最小正周期为，①正确； ，故，且， 所以是非奇非偶函数，②错误； ， 因为，所以在取得最大值，， 当时，取得最小值，，所以的值域为，③正确； 当时，，由复合函数单调性知单调递增，④正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是作出函数的大致图象，数形结合分析，考查了学生转化与化归的能力. 题型 6 的值域 1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。 1（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值. 【详解】令，则， 由， 故， 即， 由，故的最大值为. 故选：B. 2（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得出，求出二次函数在上的值域即可得解. 【详解】因为，则，则， 令， 所以，，则， 则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 当时，；当时，，则. 因此，当时，则函数的值域为. 故选：D. 3（25-26高三上·河南·阶段练习）若对任意恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先分离参数，将恒成立问题转化为最值问题，再换元求出最值，即可得到答案. 【详解】和在均大于0，∴在上大于0，得.令，则.令，则，且，于是，且在上为减函数，所以，所以. 故选D. 4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，根据已知有，且，利用与关系求值； （2）法一：根据，应用基本不等式求函数的最大值；法二：令，利用三角恒等变换及三角函数性质得且，进而求其最大值. 【详解】（1）由题知， 因为，所以，且， 所以. （2）法一：因为，所以且. 由题设， 当且仅当时取等，故的最大值为. 法二：令， 首先，所以， 其次，当且仅当时取等， 所以， 所以， 当时，，即的最大值为. 5（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且． （1）若的周长为，求的解析式及的取值范围； （2）求的最值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】(1)根据给定条件解直角三角形可得EF，EG，再借助勾股定理求出FG即可得，由点F与G的位置探求的最大、最小值得解； (2)利用(1)的结论，令结合同角公式变形成关于t的分式函数，再借助单调性求解即得. 【详解】(1)在中，则，又，即有， 同理有， 显然为锐角， 因此，， 因为分别为线段上的点，当与点重合时，最大，此时，而为锐角，则， 当点与重合时，最大，此时最小，同理可得最大值为，则，于是得的取值范围为， 所以； (2)由(1)知，令，则， 因，则， ， 于是得，又， 则，因在上单调递减，当，即时，， 当，即或时，， 所以. 【点睛】思路点睛：同角三角函数的基本关系中，使用平方关系时注意方程思想的应用，对于sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以知一求二． 题型 7 求分式型三角函数的值域 1 遇到求分式型三角函数的最值，可利用分离参数法把函数形式转化为的最值问题； 2遇到求分式型三角函数的最值，可利用换元法。 1（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先换元令，再令，得到关于的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求解. 【详解】令，则， 则， 令，，则， 所以，， 由二次函数的性质可得当，取得最大值， 又，所以. 故选：B. 2（2025高三·全国·专题练习）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】分子与分母同除以，得利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以，得， 时，的最大值为 综上，的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题 3（2025高三·全国·专题练习）设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，原函数转化为求的值域，利用反比例函数的性质即可求解. 【详解】令，则， . 故选：D 4（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行化简，然后根据正弦函数的范围列出不等式，然后求得一元二次不等式的解集即可. 【详解】原式可化为． 由辅助角公式，得， ∴，整理得， 解得. 故选：B． 5（25-26高三下·海南海口·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出函数并化简，再利用换元法借助函数单调性求解作答. 【详解】依题意，，则 ， 当时，，令，则， 而函数在是都是增函数，则函数在上单调递增， 函数在上单调递减，则当时，， 所以所求最小值为. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的函数的最值问题，可以换元或整体思想转化为单变量函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解. 6（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用正切函数的性质求出的范围，再利用和角的正切及二倍角的正切公式化简并分离参数，借助对勾函数性质求出范围即得. 【详解】当时，，则， 于是，而，令， 函数在上单调递减，因此，即 依题意，，所以实数的最大值为2. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为， ①若，总有成立，则；②若，总有成立，则； ③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 7（2025·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ． 【答案】-4 【分析】化简函数得，再换元，利用二次函数和复合函数求函数的最值. 【详解】由题意得 所以， 当时，， 设 所以， 所以当时，函数取最大值. 所以的最大值为-4． 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对已知函数的化简，由于已知函数分子分母都是“二次式”，所以可以同时除以，得到单变量函数. 题型 8 根据三角函数的值域求参数 若已知含参的三角函数最值或值域，先把函数进行变形成常见的模式（，或等），再求参的最值（有时候要分类讨论），从而得到含参的等式求出参数。 1（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将关于的函数转化为关于的二次函数，利用二次函数单调性求解的范围，再根据以及余弦函数图象的对称性求出的范围. 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. 2（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值. 【详解】 . 令，则，， 开口向下，对称轴为， 当时，则，无解. 当时，则. 综上所述，的值为. 故选：B 3（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答. 【详解】依题意，，函数的单调区间为， 由，而，得， 因此函数在区间上单调， 因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调， 于是，则，解得， 由，且，解得，又，从而或， 当时，得，又，即有，当时，得， 所以的取值范围是. 故选：B 4（24-25高一下·四川成都·阶段练习）设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及函数的对称中心得、，即可得解析式，再由余弦函数的区间值域，结合其图象得，即可得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，则且， 所以，，则，即， 当，则，此时， 所以，结合余弦函数的图象知，可得. 故选：B 5（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据即可求出； （2）令即可求出； （3）先求出，再结合函数图象可得. 【详解】（1） ， 因函数图象的一个对称中心为，则， 则，即， 因，则当时，. （2）由（1）可知，， 令，得， 故的单调递增区间为； （3），则， 因，结合函数图象可知， 欲使在区间上的值域是， 则，即， 故的取值范围为. 6（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到的取值范围. 【详解】（1）解：由 可得函数的最小正周期. （2）因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （3）由（1）知，函数， 可得asinasin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优03 三角函数的最值与值域问题 题型1 求正弦型三角函数的值域 1 理解正弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 2（25-26高一上·全国·单元测试）函数（其中常数，）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点中心对称，则原函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二下·浙江宁波·期末）若对，不等式恒成立，则（    ） A． B．2 C． D．3 4（2025·天津·二模）已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D．在上的最小值为 5（24-25高一下·江西抚州·期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（   ） A．若，则的值域为 B． C．，都有 D． 题型2 求余弦型三角函数的值域 1 理解余弦函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由余弦函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（24-25高一下·河南南阳·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）函数的值域为（   ）． A． B． C． D． 3（2023·湖南·一模）设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D．0 4（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，已知，，且的最小值为．将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到的图象，则在区间上的最大值为 ． 题型3 求正切型三角函数的值域 1 理解正切函数的图象与性质； 2 求的最值或值域，令，由的范围得到的范围，再由正切函数的性质求得最后的最值或值域。 【注意】t的取值范围。 1（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 2（2023·陕西咸阳·模拟预测）把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，若为偶函数，则在上的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值是 D．函数的单调递增区间为 4（25-26高一下·河南南阳·期末）若不等式在恒成立，则的取值范围是 . 题型 4利用辅助角公式求值域 1 辅助角公式 ，其中. 熟记两个特殊角的化简过程 型，配： 型，配：， 2 遇到类似型函数，通过三角恒等变换的方法把函数形式变成，再利用三角函数的性质求解最值或值域。 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。 1（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数为奇函数，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一下·广西钦州·期末）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 3（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中，且.记的最大值与最小值之和为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知函数，则其最大值与最小值之差为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 题型 5 与二次函数复合函数的值域 遇到求类似或型函数的最值，可利用，把函数中三角函数名变成一样的，把问题转化为二次函数的最值问题 【注意】函数转化过程中自变量的范围变化。 1（24-25高二下·浙江·阶段练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二下·浙江温州·期中）已知，则的最小值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．－4 B．2 C． D．－2 4（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5（23-24高一上·江苏·阶段练习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6（2022·四川·模拟预测）已知函数，给出下列结论： ①的最小正周期为：         ②是奇函数： ③的值域为；           ④在上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④ 题型 6 的值域 1 ； 2 遇到求的最值，可令（或），利用表示，从而把函数转化为二次函数的最值问题。 【注意】不要忽略t的取值范围。 1（23-24高一上·湖南衡阳·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3（25-26高三上·河南·阶段练习）若对任意恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 4（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若，且，求的值； (2)设函数，若，求的最大值. 5（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在矩形中，点为的中点，分别为线段上的点，且． （1）若的周长为，求的解析式及的取值范围； （2）求的最值． 题型 7 求分式型三角函数的值域 1 遇到求分式型三角函数的最值，可利用分离参数法把函数形式转化为的最值问题； 2遇到求分式型三角函数的最值，可利用换元法。 1（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）函数在的值域为（    ） A． B． C． D． 2（2025高三·全国·专题练习）当时,函数的最小值是 A． B． C． D．4 3（2025高三·全国·专题练习）设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4（2025高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5（25-26高三下·海南海口·期中）已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 6（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，恒成立，则实数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 7（2025·河北邯郸·二模）当时，函数的最大值为 ． 题型 8 根据三角函数的值域求参数 若已知含参的三角函数最值或值域，先把函数进行变形成常见的模式（，或等），再求参的最值（有时候要分类讨论），从而得到含参的等式求出参数。 1（24-25高一下·河南鹤壁·开学考试）函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 2（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 3（23-24高三上·湖南长沙·开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一下·四川成都·阶段练习）设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（），且函数图象的一个对称中心为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在区间上的值域是，求m的取值范围. 6（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$