精品解析：山东省滨州市沾化区第一实验中学2024-2025学年八年级下学期数学第二次月考试卷

沾化一实八下第二次月考数学试题 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件不能判断四边形为正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直的矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形 D. 对角线相等的菱形 5. 如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A. B. C. D. 6. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量（单位：）与其托运费用（单位：元）的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（ ） A. B. C. D. 7. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A. B. 18 C. D. 12 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 五个数1、3、a、5、8的平均数是4，则这五个数的方差是____________． 12. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 13. 在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为__________． 14. 如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为______ 15. 如图，长方形的两条边，分别落在x轴、y轴上，A点坐标为，B点坐标为，点D在线段上，沿直线将长方形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为________． 16. 正方形按如图所示的方式放置．点…和点…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是______． 三、解答题（7小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 已知． （1）化简P； （2）若点在一次函数的图象上，求P的值． 19. 如图，一次函数的图象和正比例函数的图象平行，直线过点，且分别与x轴和y轴交于点A和点B． （1）求一次函数的解析式． （2）点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． （3）在正比例函数的图象上是否存在一点P，使得以A，B，O，P四点构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中m的值为______； （2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？ 21. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 25 18 （1）第一次小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个，求两款玩偶各购进多少个？ （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共100个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 23. 综合与实践： 【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沾化一实八下第二次月考数学试题 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 2. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限，数形结合即可确定的取值范围． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 3. 如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由点A的坐标为，得到 ，过P作轴于B，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， 过P作轴于B， 设， ，， ， ， ， 故选：A． 4. 下列条件不能判断四边形为正方形的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直的矩形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形 D. 对角线相等的菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定定理，即可解答． 【详解】A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确 B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确 C. 对角线互相垂直且相等的四边形,有可能是等腰梯形,错误 D.对角线相等的菱形是正方形，正确 故选C. 【点睛】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟记正方形的判定定理． 5. 如图是函数的图象，则不等式的解集是（ 　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，正确理解图象，函数图象在x轴上方，即函数值大于0；在下方时，函数值小于0；图象在y轴左侧的部分函数的自变量x小于0，在右侧则自变量x大于0．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：一次函数的图象经过点，且函数值y随x的增大而增大， ∴不等式的解集是． 故选：A． 6. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量（单位：）与其托运费用（单位：元）的关系如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是用一次函数解决实际问题，关键是理解一次函数图象的意义以及与实际问题的结合．根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求时，x对应的值即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为，把点，分别代入得， 由题意可知， 解得 所以y与x的函数关系式为， 当时，， 解得． 即旅客可免费携带行李的最大质量为， 故选：A． 7. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 8. 已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 9. 如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B 【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图（1），在中，点D是边上一点，点P从点A出发，沿运动到点B，设点P运动的路程为x，点P到点B的距离为y，在点P运动过程中，y随x变化的关系图象如图（2）所示，其中点E为第一段函数图象的最低点，则的周长为（　　） A. B. 18 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，由图象得，当点运动到点时，，，求出，得到，推出，得到是等边三角形，根据函数图象得，推出，得到，求出，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 由图象得，当点运动到点时，，， 当点运动到点时，， ， ， ， ， 是等边三角形； 当点P运动到点D时，y的值是a， 根据函数图象，结合点P的运动路线，得， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 五个数1、3、a、5、8的平均数是4，则这五个数的方差是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出a的值，再根据方差的公式计算． 【详解】解：， 解得：a=3， 故五个数的方差=×[（1-4）2+（3-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（8-4）2]=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的计算方法． 12. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 【答案】87.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【详解】解：根据题意得 她的最后得分是为： （分）； 故答案为：87.4． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 13. 在直角坐标系中，点，的坐标分别为，，在轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】的周长为，求周长最小即最小．作点关于轴的对称点，连接，求出的解析式，再计算解析式与轴的交点坐标即为点的坐标． 【详解】的周长为， 当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点， ， ， 又， 当，，三点在同一直线上时最小，此时与轴的交点即为点． 设的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ， 当时，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，待定系数法求函数解析式；解题关键是找到对称点． 14. 如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线与斜边的关系、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．连接，利用勾股定理可以求得的长，然后根据正方形的性质可以得到的形状，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到的长． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵H为线段的中点， ∴， ∵正方形，正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，长方形的两条边，分别落在x轴、y轴上，A点坐标为，B点坐标为，点D在线段上，沿直线将长方形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质和勾股定理求出线段长度是解题的关键．根据长方形的性质得到，，，利用折叠的性质得到，，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，设，在利用勾股定理建立方程，解出的值即可解答． 【详解】解：，， ，， 长方形， ，，， 由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 点D的坐标为． 故答案为：． 16. 正方形按如图所示的方式放置．点…和点…分别在直线和x轴上．则点的纵坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的规律探究，点坐标规律探索；当时，求出，得到的坐标为，得到，找出规律的纵坐标为，即可求出． 【详解】解：当时，代入， 得，解得， ∴， ∴， 当时，代入， 得， ∴， ∴， ∵， 又， ∴ ∵为正方形， ∴，， ∴的坐标为， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴的纵坐标为2， 同理， ， ∴的纵坐标为4， 同理可得： 的纵坐标为， …… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共72分） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、完全平方公式、平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据二次根式性质、二次根式乘法运算法则进行计算，然后相加减即可； （2）首先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，最后相加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知． （1）化简P； （2）若点在一次函数的图象上，求P的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把除法化为乘法得，再化简，即可作答．； （2）将点代入得到，再将代入化简后的，即可求解； 本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征，分母有理化；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ； 【小问2详解】 点在一次函数的图象上 ∴， ， 19. 如图，一次函数的图象和正比例函数的图象平行，直线过点，且分别与x轴和y轴交于点A和点B． （1）求一次函数的解析式． （2）点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． （3）在正比例函数的图象上是否存在一点P，使得以A，B，O，P四点构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平移的特点得出，代入求出，得出答案即可； （2）根据函数解析式求出；即可； （3）分为边和对角线两种情况求出结果即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象和正比例函数的图象平行， ， 直线过点， ，解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：把代入得， 则点B的坐标为， 把代入得， 解得：， ∴点A的坐标为． 【小问3详解】 解：存在； 如图，当为边时，，， 则点的横坐标为， 把代入得：， ∴点； 当为对角线时，设，根据中点坐标公式可得： ， 解得：， ∴； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，平行线的性质，一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 20. 为了解某校九年级学生的理化生实验操作情况，随机抽查了若干名学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，制作了如图的统计图（1）和图（2）． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查的学生人数为_____，在图（2）中，“①”的描述应为“7分”，其中m的值为______； （2）求抽取的学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数； （3）若该校九年级共有名学生，估计该校理化生实验操作得满分的学生有多少人？ 【答案】（1） （2）平均数为分，众数是9分，中位数为8分 （3）估计该校理化生实验操作得满分的学生有人 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图可求出抽查学生人数；根据扇形统计图即可求出m的值； （2）根据条形统计图即可求出平均数、众数和中位数； （3）根据样本估计总体的原则即可求解． 【小问1详解】 解：本次随机抽查的学生人数为（人）， ，即； 故答案为：40，15； 【小问2详解】 解：平均数为：（分）， 由图表得知，众数是9分． 名同学，中位数为从小到大排名第和第名同学的平均数， 由图表得知，排名后第和第名同学得分均为8分， 因此，中位数为8分； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）， 答：估计该校理化生实验操作得满分的学生有人． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．掌握各统计数据的意义是解题关键． 21. 冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 20 15 销售价（元/个） 25 18 （1）第一次小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个，求两款玩偶各购进多少个？ （2）第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共100个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）购进A款玩偶30个，则购进B款玩偶70个； （2）购进A款玩偶33个，购进B款玩偶67个时才能获得最大利润，最大利润是366元． 【解析】 【分析】（1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（100-x）个，根据“小李以1650元购进了A，B两款玩偶共100个”列出一元一次方程求解即可； （2）设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（100-a）个，利润为w元，根据表格列出关于利润的一次函数，根据“网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半”求出a的取值范围，再考虑其为整数即可求出答案． 【小问1详解】 （1）设购进A款玩偶x个，则购进B款玩偶（100-x）个， 由题意可得：20x+15（100-x）=1650，解得x=30，∴100-x=70， 答：购进A款玩偶30个，则购进B款玩偶70个； 【小问2详解】 设购进A款玩偶a个，则购进B款玩偶（100-a）个，利润为w元， 由题意可得：w=（25-20）a+（18-15）（100-a）=2a+300， ∵k=2>0， ∴w随a的增大而增大， ∵网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，∴a≤， 解得a≤， ∵a为整数，∴a≤33 ∴当a=33时，w取得最大值，此时w=366，100-a=67， 答：购进A款玩偶33个，购进B款玩偶67个时才能获得最大利润，最大利润是366元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用以及不等式的应用．根据“网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半”求出a的取值范围以及考虑a为整数是解题关键． 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 23. 综合与实践： 【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 【答案】（1），； （2）； （3）证明：取的中点H，连接，． ∵M，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． （1）、根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）、连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； （3）、取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】（1）解：，； （2）解：连接，如图所示， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $