第01课：21.1一元二次方程 讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第01课人教版 2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 一元二次方程的概念 1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有 未知数； ②二次：未知数的 为2； 2、一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）； ②只含有 个未知数； ③未知数的 为2； 知识点02 一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式及要求 ①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式，叫做一元二次方程的一般形式； ②一元二次方程的一般形式的要求： 等式左边为关于x的 ，等式右边 ； 2、一元二次方程的项和系数 a为 b为 3、一元二次方程的特殊形式： 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化为 ； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程 ，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的 ； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为 ； 知识点03 一元二次方程的根 一元二次方程的根满足两个条件： （1）根就是未知数的值； （2）使方程两边相等； 用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。 应用： 1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边 , 则是,否则不是. 2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 考点01 一元二次方程的判断 例题1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 变式1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 考点02 一元二次方程的定义 例题2.若方程是关于的一元二次方程，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 变式2.若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为(    ) A. B. C. D. 考点03 一元二次方程的一般式 例题3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： ；；． 变式3（1）.方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 变式3（2）.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式3（3）.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 考点04 一元二次方程的根 例题4.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 或 变式4（1）.已知是关于的方程的一个解，则的值是     ． A. B. C. D. 变式4（2）.以为一个根的一元二次方程可能是． A. B. C. D. 变式4（3）.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 变式4（4）.下列各数：，，，中，是方程的根的是(    ) A. B. C. ， D. ， 考点05 整体代换思想 例题5.是关于的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. D. 变式5（1）.已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值等于(    ) A. B. C. D. 变式5（2）.设，是方程的两个实数根，则的值是． A. B. C. D. 考点06 列一元二次方程 例题6.根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式不需要求解： 个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是，求等腰直角三角形的直角边长； 一个矩形的周长为，面积为，求矩形的长； 从一块正方形木板上锯掉一根宽为的矩形木条，剩下的矩形的面积为，求原来正方形木板的边长． 变式6.根据问题列出一元二次方程，并化为一般形式． 一个直角三角形的斜边长为，两条直角边相差，求两条直角边的长． 某毕业班的同学每两人互赠了一张照片，全班同学共赠送了张照片，求该班的人数． 如图是一本长、宽，厚的数学书．小明用一张面积为的矩形纸如图给这本书包书皮，图中虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为全等的小正方形，小正方形的边长即为折叠进去的宽度，求小正方形的边长． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列是方程的解的是  (    ) A. B. C. D. 3.已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5.已知是方程的根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若方程是关于的一元二次方程，则的值为          ． 7.方程的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ． 8.已知是方程的一个根，则           ． 9.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是          ． 10.一元二次方程的一般形式是          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 12.已知是方程的一个根，求代数式的值． 13.已知实数是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 14.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： ；；；． 15.根据下列问题，列出方程，并将其化为一般形式： 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，求长方形的长； 一个直角三角形的斜边长为，两条直角边相差，求较长的直角边长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01课人教版 2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点01 一元二次方程的概念 1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有一个未知数； ②二次：未知数的最高次为2； 2、一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是整式方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如不是整式方程）； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次为2； 知识点02 一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式及要求 ①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式，叫做一元二次方程的一般形式； ②一元二次方程的一般形式的要求： 等式左边为关于x的二次整式，等式右边等于0； 2、一元二次方程的项和系数 二次项 一次项 常数项 a为二次项系数 b为一次项系数 3、一元二次方程的特殊形式： 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化为正数； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的符号； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项，则该项的系数为0； 知识点03 一元二次方程的根 一元二次方程的根满足两个条件： （1）根就是未知数的值； （2）使方程两边相等； 用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。 应用： 1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等,相等则是,否则不是. 2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 考点01 一元二次方程的判断 例题1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的定义，注意一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程即可． 【解答】 解：、不是整式方程，不合题意； B、含有个未知数，不合题意； C、当时，不合题意； D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，二次项系数不为的整式方程，符合题意． 变式1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  考点02 一元二次方程的定义 例题2.若方程是关于的一元二次方程，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】由一元二次方程的定义可得m-3≠0, n=2可解出m≠3，n=2故答案为C 变式2.若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由一元二次方程的定义可得m-1≠0,可解出m≠1．故答案为A 考点03 一元二次方程的一般式 例题3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： ；；． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为-27  (2)一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为-12  (3)一般形式为，二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为0  变式3（1）.方程化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  【解析】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的一次项系数是，常数项是． 故选：． 一元二次方程的一般形式是：是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 变式3（2）.一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  变式3（3）.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】一元二次方程化为一般形式后为因为该方程不含一次项，所以，所以因为，所以因为，所以，所以的值为． 考点04 一元二次方程的根 例题4.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查的是一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，正确理解二次项系数不为是解题的关键由一元二次方程的定义，可知，再把方程的一个根是，代入可得，进而通过解方程即可求得的值． 【解答】 解：是关于的一元二次方程， ，即． 由方程的一个根是，代入， 可得， 解之得． 由得． 故选C． 变式4（1）.已知是关于的方程的一个解，则的值是     ． A. B. C. D. 【答案】C  变式4（2）.以为一个根的一元二次方程可能是． A. B. C. D. 【答案】D  变式4（3）.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查方程的解的定义．使方程左右两边相等的未知数的值班叫方程的解． 根据方程解的定义，把代入方程得到关于的一个方程，解之即可． 【解答】 解：把代入方程得 ， 解方程得 变式4（4）.下列各数：，，，中，是方程的根的是(    ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C  考点05 整体代换思想 例题5.是关于的一元二次方程的解，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【解答】 解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选A． 变式5（1）.已知是关于的一元二次方程的一个根，则代数式的值等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：把代入一元二次方程可得：， 即， 故选： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程即可求的值． 此题应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 变式5（2）.设，是方程的两个实数根，则的值是． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】，是方程的两个实数根， ，，故选D． 考点06 列一元二次方程 例题6.根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式不需要求解： 个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是，求等腰直角三角形的直角边长； 一个矩形的周长为，面积为，求矩形的长； 从一块正方形木板上锯掉一根宽为的矩形木条，剩下的矩形的面积为，求原来正方形木板的边长． 【答案】(1)由题意，得．整理，得 x2－9＝0  (2)由题意，得．整理，得 x2－10x＋24＝0  (3)由题意，得a（a－3）＝60．整理，得a2－3a－60＝0  变式6.根据问题列出一元二次方程，并化为一般形式． 一个直角三角形的斜边长为，两条直角边相差，求两条直角边的长． 某毕业班的同学每两人互赠了一张照片，全班同学共赠送了张照片，求该班的人数． 如图是一本长、宽，厚的数学书．小明用一张面积为的矩形纸如图给这本书包书皮，图中虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为全等的小正方形，小正方形的边长即为折叠进去的宽度，求小正方形的边长． 【答案】(1)设较长的直角边长为x，由题意得，一般形式为 x2－2x－18＝0．  (2)设该班有x人，由题意得x（x－1）＝1122，一般形式为x2－x－1122＝0．  (3)（18.5×2＋1＋2x）（26＋2x）＝1120，化为一般形式为x2+32x-33=0．  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，是一元一次方程，故A不符合题意； B、，是分式方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元二次方程，故D不符合题意； 故选：． 根据一元二次方程的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.下列是方程的解的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】B  【解析】解：由题意，， 解得：， 故选：． 4.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是、、 故选： 根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 5.已知是方程的根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.若方程是关于的一元二次方程，则的值为          ． 【答案】  7.方程的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ． 【答案】；； 8.已知是方程的一个根，则           ． 【答案】  9.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是          ． 【答案】  10.一元二次方程的一般形式是          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】解：由题意，得且，  解得，即的值是．  12.已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】  13.已知实数是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】由题意，得．，，．  14.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： ； ； ； ． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数为9，一次项系数为0，常数项为-25  (2)一般形式为，二次项系数为10，一次项系数为-5，常数项为-3  (3)一般形式为，二次项系数为3，一次项系数为-12，常数项为-7  (4)一般形式为，二次项系数为4，一次项系数为-13，常数项为2  15.根据下列问题，列出方程，并将其化为一般形式： 用一条长的绳子围成一个面积为的长方形，求长方形的长； 一个直角三角形的斜边长为，两条直角边相差，求较长的直角边长． 【答案】(1)解：依题意，得，化为一般形式，得；  (2)依题意，得，化为一般形式，得.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$