模块综合检测卷（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

模块综合检测卷 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 解析：选A　在数轴上表示出集合A，B，如下图所示： 由图知A∩B＝{x|－2<x<－1}． 2．已知a>0，b∈R，那么a＋b>0是a>|b|成立的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选B　a＋b>0即a>－b，当a＝1，b＝2时，无法推出a>|b|.当a>|b|时(a>0)，即a到原点的距离大于b到原点的距离，故a＋b>0.综上所述，应为必要条件但不是充分条件． 3．函数f(x)＝的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D　要使函数有意义，则 解得x>－且x≠1， ∴函数f(x)的定义域是. 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据制作了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查，则在[2500，3000)段应抽出(　　) A．25人　　　　　B．50人 C．100人 D．125人 解析：选A　10 000人中在[2500，3000)段的有10 000×0.0005×500＝2500(人)，利用分层随机抽样从10 000人中抽取100人做进一步调查，设在[2500，3000)段应抽取x人，则＝，解得x＝25. 5．已知f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x2＋3x＋2.则当x∈[1，3]时，f(x)的最小值是(　　) A． B． C．－2 D．－ 解析：选C　当x<0时，f(x)＝－，在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2， 因为f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称， 所以f(x)在[1，3]内存在最小值－2. 6．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 解析：选C　因为x>0，y>0，x＋2y＝2， 所以x＋2y≥2， 即2≥2，xy≤， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立． 所以xy有最大值，且最大值为. 7．一个笼子里有3只白兔，2只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选A　设3只白兔分别为b1，b2，b3，2只灰兔分别为h1，h2，则所有样本点有(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，b1)，(h2，b1)，(h1，b2)，(h2，b2)，(h1，b3)，(h2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b1)，(b2，b3)，(b3，b1)，(b3，b2)，(h1，h2)，(h2，h1)，共20个，其中符合一只是白兔，另一只是灰兔的情况有12个，所以所求概率为＝. 8．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c＞a>b D．c>b>a 解析：选B　a＝log29－log2＝log2(3)，b＝1＋log2＝log2 (2)，c＝＋log2＝log2， 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2>3>，所以b>a>c. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则> 解析：选AB　A．由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，A正确；B.由不等式的同向可加性可知B正确；C.当0>c>d时，不等式不成立，C错误．D.令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但<，D错误． 10．某市7天国庆节假期期间的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断，则下列结论错误的是(　　) A．日成交量的中位数是16 B．日成交量超过日平均成交量的有2天 C．认购量随日期逐渐增长 D．10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量 解析：选ABC　将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以A错；日平均成交量为≈42.7，超过42.7的只有一天，所以B错；由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以C错；10月7日认购量的增量为276－112＝164，成交量的增量为166－38＝128，所以D对．故选ABC. 11．已知函数f(x)＝则下列选项正确的是(　　) A．当m＝0时，函数f(x)有2个零点 B．当m＝0时，函数f(x)有3个零点 C．如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为[－2，0) D．如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围为[－2，0)∪[4，＋∞) 解析：选BD　当m＝0时，函数f(x)＝当x≤0时，令－x2－2x＝0，解得x＝0或x＝－2. 当x>0时，令x－4＝0，解得x＝4，所以当m＝0时，函数f(x)有3个零点． 作出函数y＝－x2－2x和y＝x－4的图象(图象略)，要使函数f(x)恰有两个零点，数形结合可知，需－2≤m<0或m≥4，即实数m的取值范围是[－2，0)∪[4，＋∞). 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若从2，3，6三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“是整数”的概率为________． 解析：记取出数为(a，b)，所有可能结果为 (2，3)，(2，6)，(3，2)，(3，6)，(6，2)，(6，3)，共6种，满足“是整数”的结果有(6，2)，(6，3)，共2种，所以所求概率为P＝＝. 答案： 13．某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层随机抽样调查，得到了如下表所示的数据，则x＝________，＝________． 年级段 小学 初中 高中 总人数 800 x y 样本中人数 16 15 z 解析：由分层随机抽样的特点，＝＝，即x＝750，＝50，则＝37 500. 答案：750　37 500 14．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e， 所以k＝2ln 2，所以y＝e2t ln 2， 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1024. 答案：1024 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N＋，c∈N＋)满足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意x∈[1，2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2， ∴c＝3－a. 又6<f (2)<11，∴6<4a＋c＋4<11， ∴－<a<. 又a∈N＋，∴a＝1，c＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋2. (2)设g(x)＝f(x)－2mx－1 ＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1，2]， 则由已知得当m－1≤1，即m≤2时， g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2. 当1<m－1<2，即2<m<3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解． 当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解． 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]. 16．(15分)某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100个、200个、300个、400个．为挑选优秀团队，现用分层随机抽样的方法，从以上团队中抽取20个． (1)应从大三中抽取多少个团队？ (2)将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试(共150分)，甲、乙两组的成绩如下： 甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142 乙：127，116 ，144，127，144，116，140，140，116，140 从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛．从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？ 解：(1)由题意知，大三团队个数占总团队个数的＝，则用分层随机抽样的方法，应从大三中抽取20×＝6(个)团队． (2)甲组成绩的平均数甲＝130， 乙组成绩的平均数乙＝131， 甲组数据的方差s＝104.2，乙组数据的方差s＝128.8， 选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但s<s，甲组成绩波动小． 选乙组理由：甲<乙，且乙组中不低于140分的团队多，在竞技比赛中，高分团队获胜的概率大． 17．(15分)有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数型函数变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式Q＝Q0e-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量． (1)随着时间t的增加，臭氧的含量是增加的还是减少的？ (2)试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失？(参考数据：ln 0.5≈－0.69) 解：(1)对于函数Q＝Q0e-0.0025t，显然Q＞0.任取t1＜t2，则t2－t1＞0，＝＝e－0.0025(t1－t2)＝e0.0025(t2－t1)＞e0＝1，所以Q1＞Q2.故随着时间t的增加，臭氧的含量是减少的． (2)令＝＝e-0.0025t＝， 解得－0.0025t＝ln ≈－0.69，解得t＝276. 故估计276年以后将会有一半的臭氧消失． 18(17分)某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，这200人的年龄区间为[15，65]，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如下图所示． (1)求出a的值； (2)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)； (3)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求从第2组恰好抽到2人的概率． 解：(1)由10×(0.010＋0.015＋a＋0.030＋0.010)＝1，得a＝0.035. (2)平均数为20×0.1＋30×0.15＋40×0.35＋50×0.3＋60×0.1＝41.5(岁)； 设中位数为x岁，则10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5， ∴x≈42.1， 即中位数为42.1岁． (3)第1，2组的人数分别为20，30，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2，3，分别记为A1 ，A2 ，b1，b2，b3，则从5人中随机抽取3人，为(A1，A2，b1)，(A1，A2，b2)，(A1，A2，b3)，(A1，b1，b2)，(A1，b1，b3)，(A1，b2，b3)，(A2，b1，b2)，(A2，b1，b3)，(A2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10个样本点，从第2组中恰好抽到2人的概率为＝. 19．(17分)若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y＝在区间I上是减函数，则称函数y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”． (1)若函数h(x)＝x2＋x＋b(m，b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件； (2)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋k|x－4|(k是常数且k≠0)，若存在区间I使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围． 解：(1)函数h(x)＝x2＋x＋b(m，b是常数)在区间(0，1]上是“弱增函数”， ∴h(x)＝x2＋x＋b在区间(0，1]上是增函数，则－≤0，解得m≥. ＝x＋＋在区间(0，1]上是减函数，则≥1，解得b≥1. ∴m，b满足的条件为：m≥，b≥1. (2)f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋k|x－4|. ①当x<1时，f(x)＝－(k＋3)x＋(6＋4k)，＝－(k＋3)＋， 使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，则无解； ②当1≤x<2时，f(x)＝－(k＋1)x＋(4＋4k)，＝－(k＋1)＋， 使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，则无解； ③当2≤x<3时，f(x)＝(1－k)x＋4k，＝(1－k)＋， 使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，则解得0<k<1； ④当3≤x<4时，f(x)＝(3－k)x＋(4k－6)，＝(3－k)＋， 使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，则解得<k<3； ⑤当x≥4时，f(x)＝(3＋k)x＋(－4k－6)，＝(3＋k)＋， 使得y＝f(x)在区间I上是“弱增函数”，则解得－3<k<－. 综上所述，k的取值范围是∪(0，1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$