章末检测卷(4) 对数运算与对数函数（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(四)　对数运算与对数函数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知y＝4x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝，则x0的值为(　　) A．－2　　　　　　　　　B．－1 C．2 D． 解析：选C　由题意f(x)＝log4x，因为f(x0)＝，所以log4 x0＝，所以x0＝4＝2. 2．函数y＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析：选C　由函数的解析式得： 即 所以1≤x<. 3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有(　　) A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2) C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4) 解析：选C　由loga8＝3，解得a＝2.因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2). 4．函数y＝|lg (x－1)|的图象是(　　) 解析：选C　把y1＝lg x的图象向右平移一个单位得y2＝lg (x－1)的图象，再把y2＝lg (x－1)在x轴下方的图象沿x轴翻折上去即得y＝|lg (x－1)|的图象，结合各选项知选C. 5．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　) A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab 解析：选C　∵正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c， ∴设log2a＝log3b＝log6c＝k， 则a＝2k，b＝3k，c＝6k， ∴c＝ab. 6．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b>a＞c D．b＞c＞a 解析：选A　a＝log3π>1，b＝log2＝log2 3∈，c＝log3＝log32∈，故有a>b>c. 7．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 解析：选B　由函数y＝logax的图象过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图象错误；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图象正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图象错误；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图象错误． 8．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 解析：选B　因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT， 所以r＝＝0.38， 所以I(t)＝ert＝e0.38t， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t天， 则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2， 所以0.38t1＝ln 2， 所以t1＝≈≈1.8天． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若0<x<y<1，则(　　) A．0<xy<1 B．3y<3x C．log4x<log4y D．logx3<logy3 解析：选AC　因为y＝log4x在(0，＋∞)上递增，且0<x<y<1，所以log4x<log4y，0<xy<1，所以AC正确；因为y＝3x在R上递增，且0<x<y<1，所以3y>3x，故B错误；取x＝，y＝，知logx3>logy3，故D错误． 10．已知f(x)＝lg (4＋x)＋lg (4－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．在(0，4)上单调递增 D．在(0，4)上单调递减 解析：选BD　由得x∈(－4，4)， 故函数f(x)的定义域为(－4，4)，关于原点对称， 又由f(－x)＝lg (4－x)＋lg (4＋x)＝f(x)， 故函数f(x)为偶函数， 而f(x)＝lg (4＋x)＋lg (4－x)＝lg (16－x2)， y＝16－x2在(0，4)上单调递减，y＝lg x在(0，4)上单调递增， 故函数f(x)在(0，4)上单调递减，故选BD. 11．已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是 (　　) A．f(4)＝－3 B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点 C．函数y＝f(x)的最小值为－4 D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 解析：选ABC　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2 x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，取x＝1，则f(1)＝－3≠f(3).故选ABC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 解析：函数f(x)的定义域为， 设u＝2x＋1，f(x) ＝log5u(u>0)是单调增函数，因此只需求函数u＝2x＋1的单调增区间，而函数u＝2x＋1在定义域内单调递增． 所以函数f(x)的单调增区间是. 答案： 13．已知函数f(x)＝那么 f＝________． 解析：∵f＝log2＝log22-3＝－3， ∴f＝f(－3)＝3-3＝. 答案： 14．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为________． 解析：由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25， ∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1. 答案：1010.1 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)求值：(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57. (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解：(1)log89·log2732－()lg 1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝. (2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64 ＝ ÷log622 ＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62 ＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1. 16．(15分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2，4]. (1)设t＝logx，x∈[2，4]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的值域． 解：(1)因为函数t＝logx在[2，4]上是单调减函数，所以tmax＝log2＝－1， tmin＝log4＝－2. (2)令t＝logx，则g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]，因此当t＝－2，即x＝4时， f(x)max＝12；当t＝－1，即x＝2时，f(x)min＝7. 因此，函数f(x)的值域为[7，12]. 17．(15分)某工厂从2006年的年产值1000万元增加到2024年的5000万元，如果每年年产值增长率相同，则每年年产值增长率是多少？[ln (1＋x)≈x，取lg 5≈0.7，ln 10≈2.3] 解：设每年年产值增长率为x，根据题意得1000(1＋x)18＝5000，即(1＋x)18＝5，两边取常用对数，得18lg (1＋x)＝lg 5，即lg (1＋x)＝≈×0.7.由换底公式，得≈，由已知条件ln (1＋x)≈x，得x≈ln (1＋x)≈×ln 10≈≈0.0894≈9%， 所以每年年产值增长率约为9%. 18．(17分)小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据： x(月份) 2 3 4 5 6 … y(元) 1.40 2.56 5.31 11 21.30 … 小明选择了模型y＝x，他的同学却认为模型y＝更合适． (1)试问用哪个函数模型更合适？ (2)大约在几月份小学生零花钱超过100元？ 解：(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并结合y＝x与y＝的图象(如下图所示)，观察可知，这些点基本都落在y＝的图象上或附近．因此用y＝这一模型更符合． (2)当＝100时，2x＝300. 则x＝log2300＝＝≈8.230. ∴x＝9. ∴大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元． 19．(17分)设f(x)＝log为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)证明：f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； (3)若在区间[3，4]上的每一个x，不等式f(x)>＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)是奇函数，∴定义域关于原点对称，由>0， 得(x－1)(1－ax)>0. 令(x－1)(1－ax)＝0，得x1＝1，x2＝， ∴＝－1，解得a＝－1. 经验证a＝－1，满足题意． (2)证明：由(1)可知f(x)＝log ＝log(x＞1)， 令u(x)＝1＋(x>1)， 对任意1<x1<x2， 有u(x1)－u(x2)＝－ ＝＝. 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以>0， 即u(x1)－u(x2)>0. 所以u(x)＝1＋在(1，＋∞)上单调递减． 又因为y＝logu(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． (3)f(x)>＋m在[3，4]上恒成立，即m<f(x)－在[3，4]上恒成立， 令g(x)＝f(x)－. 由(2)知f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)在[3，4]上单调递增． 所以g(x)min＝g(3)＝f(3)－＝－， 所以m<－，即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$