阶段质量检测(4) 第4章 对数运算与对数函数（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

阶段质量检测(四) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数g(x)＝2x＋＋ln (1－x)的定义域为 (　　) A．(1，＋∞) B．[－2，1) C．[－2，＋∞) D．(－2，1] B　解析：由函数g(x)＝2x＋＋ln (1－x)可知， 令得到－2≤x＜1，即该函数定义域为[－2，1).故选B. 2．若logmn＝，则下列各式正确的是 (　　) A．n＝m B．m＝n2 C．n＝m2 D．n＝2m B　解析：由logab＝c，得ac＝b， 从而由logmn＝可知m＝n， 即m＝n2.故选B. 3．的值是 (　　) A．1 B． C． D．2 B　解析：由题意可得，＝＝＝.故选B. 4．已知函数f(x)＝lg (x2＋1)，x∈[－1，3]，则f(x)的值域为 (　　) A．[0，＋∞) B．[0，1) C．[lg 2，1] D．[0，1] D　解析：因为x∈[－1，3]，所以x2＋1∈[1，10]，所以f(x)＝lg (x2＋1)∈[0，1].故选D. 5．函数y＝log(－3＋4x－x2)的单调递增区间是 (　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(1，2) D．(2，3) D　解析：由条件可得－3＋4x－x2>0，得1<x<3. 设t＝－3＋4x－x2，易知其图象的对称轴为直线x＝2. ∵函数y＝logt为减函数，∴要求函数y＝log(－3＋4x－x2)的单调递增区间， 即求函数t＝－3＋4x－x2在(1，3)上的单调递减区间， 由二次函数性质可得，函数t＝－3＋4x－x2在(1，3)上的单调递减区间为(2，3). 故选D. 6．三个实数a＝log34，b＝log25，c＝3的大小关系为 (　　) A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a B　解析：由于1＝log33<log34<log39＝2，log25>log24＝2， c＝3＝∈(0，1)，故c＝3<a＝log34<b＝log25.故选B. 7．函数f(x)＝ax与函数g(x)＝loga(x＋a)(其中a>0，且a≠1)在同一直角坐标系下的图象可能是 (　　) 　　 　　 A　解析：由函数解析式可知，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝loga(x＋a)(其中a>0，且a≠1)的单调性必然相同，所以排除D；又因为函数f(x)＝ax与函数g(x)＝loga(x＋a)(其中a>0，且a≠1)的图象都过点(0，1)，排除B，C.故选A. 8．已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为 (　　) A．(0，) B．(，1) C．(，＋∞) D．(1，＋∞) D　解析：因为函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上有意义，则有ax2－x＝x(ax－1)>0在(1，2)上恒成立，即有ax－1>0在(1，2)上恒成立，所以解得a>1， 此时二次函数y＝ax2－x图象开口向上，对称轴方程x＝<<1， 所以函数y＝ax2－x在(1，2)上单调递增，又函数y＝log2x为增函数， 所以由复合函数单调性法则知，y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，符合题意， 所以a的取值范围为(1，＋∞).故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子不成立的是 (　　) A．log2(8－4)＝log28－log24 B．＝log2 C．log28＝3log22 D．log2(8＋4)＝log28＋log24 ABD　解析：对于A，因为log2(8－4)＝log24＝log222＝2，log28－log24＝log223－log222＝3－2＝1， 所以log2(8－4)≠log28－log24，所以A不成立； 对于B，因为＝＝，log2＝log22＝1，所以≠log2，所以B不成立； 对于C，因为log28＝log223＝3log22，所以C正确； 对于D，因为log2(8＋4)＝log212＝log23＋log24＝log23＋2，log28＋log24＝log223＋log222＝3＋2＝5， 所以log2(8＋4)≠log28＋log24，所以D不成立．故选ABD. 10．已知函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)，则 (　　) A．f(x)的定义域为(1，＋∞) B．f(x)的单调递减区间为(－∞，0] C．f(x)是增函数 D．f(x)的值域为R ACD　解析：对于A，由x＋1>0且x－1>0，得x>1，故f(x)的定义域为(1，＋∞)，A正确； 对于B，区间(－∞，0]不在定义域内，B错误； 对于C，∵函数y＝x2－1在(1，＋∞)为增函数， ∴ 函数f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)＝log2(x2－1)在(1，＋∞)为增函数， 故函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，无单调递减区间，故函数f(x)在定义域上为增函数，C正确； 对于D，f(x)＝log2(x＋1)＋log2(x－1)＝log2(x2－1)在(1，＋∞)为增函数， 真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，D正确．故选ACD. 11．下面四个不等式中正确的是 (　　) A．0.20.3<0.20.2 B．log3<log C．ln <log3 D．20.9<0.92 ABC　解析：对于选项A，因为y＝0.2x在定义域内单调递减，所以0.20.3<0.20.2，故A正确； 对于选项B，因为log3<log1＝0，且log＝log34>log33＝1， 所以log3<log，故B正确； 对于选项C，因为log3＝，且ln ＜0，ln 3＞1，可得0<<1， 所以>ln ，即ln <log3，故C正确； 对于选项D，因为20.9>20＝1，且0.92<0.90＝1， 所以20.9>0.92，故D错误．故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知10a＝2，lg 3＝b，用a，b表示log475＝________． 答案：　解析：由已知可得，a＝lg 2，又b＝lg 3， 则log475＝＝＝. 由lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝1，所以lg 5＝1－lg 2＝1－a， 所以log475＝＝. 13．已知函数f(x)＝|log2x|，则不等式f(x)<2的解集为________． 答案：(，4)　解析：由题，f(x)＝|log2x|<2，x>0， －2<log2x<2，即log22-2<log2x<log222. 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以<x<4，解集为(，4). 14．若函数f(x)＝在(－∞，a]上的最大值为4，则a的最小值为____________，最大值为____________． 答案：1　17　解析：因为f(x)＝ 当x∈(－∞，1]时，易知f(x)＝2x＋2在(－∞，1]上单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝log2(x－1)在(1，＋∞)上单调递增． 作出f(x)的大致图象，如图所示． 由图可知，f(1)＝4，f(17)＝log2(17－1)＝4， 因为f(x)在(－∞，a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1，17]， 即a的最小值为1，最大值为17. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)解答下列各题． (1)计算log2和log3.12(log1515)； (2)已知log4x＝－，log3(log2y)＝1，求xy的值． 解：(1)因为2-6＝，所以log2＝－6. log3.12(log1515)＝log3.121＝0. (2)因为log4x＝－，所以x＝4－＝2-3＝. 因为log3(log2y)＝1，所以log2y＝3，所以y＝23＝8. 所以xy＝×8＝1. 16．(15分)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间[，2]上的最值． 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2＝logaa2(a>0，a≠1)，即a2＝4， 解得a＝2，或a＝－2(舍去).由得－1<x<3， ∴函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)由(1)知f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]. ∵二次函数g(x)＝－(x－1)2＋4的图象开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴g(x)在[，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减． ∵g()＝，g(1)＝4，g(2)＝3， ∴g(x)min＝g(2)＝3，g(x)max＝g(1)＝4.∴当x∈[，2]时，3≤－(x－1)2＋4≤4. 又∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， ∴当x∈[，2]时，log23≤log2[－(x－1)2＋4]≤log24＝2.∴f(x)在区间[，2]上的最小值是log23，最大值是2. 17．(15分)已知函数f(x)＝|lg x|. (1)画出函数y＝f(x)的草图，并根据草图求出满足f(x)>1的x的集合； (2)若0<a<b，且f(a)>f(b)，求证：ab<1. (1)解：画出函数y＝f(x)的草图，如图所示， 令f(x)＝1，则|lg x|＝1，lg x＝±1，可得x＝10或x＝. 故满足f(x)>1的x的集合为(0，)∪(10，＋∞). (2)证明：若0<a<b，且f(a)>f(b)， 则|lg a|>|lg b|. 当0<a<b≤1时，|lg a|>|lg b|显然成立且ab<1. 当0<a≤1≤b时，因为|lg a|>|lg b|，则－lg a>lg b，lg a＋lg b<0，从而lg ab<0，故ab<1成立，当1≤a<b时，|lg a|>|lg b|不成立． 综上所述，ab<1成立． 18．(17分)某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“流感病毒”，国际上常用普姆克实验系数(单位：pmk)表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24 pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36 pmk，治愈效果的普姆克系数y(单位：pmk)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝px＋k(p>0，k>0)可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； (2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解：(1)函数y＝kax(k>0，a>1)与y＝px＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上都是增函数， 随着x的增加，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加速度越来越快， 而函数y＝px＋k的值增加速度越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大， 因此选择模型y＝kax(k>0，a>1)符合要求． 根据题意可知x＝2时，y＝24；x＝3时，y＝36， ∴解得 故该函数模型的解析式为y＝·()x，1≤x≤12，x∈N＋. (2)当x＝0时，y＝，元旦治愈效果的普姆克系数是pmk， 由·()x>10×，得()x>10， ∴x>log10＝＝≈≈5.7，∵x∈N＋，∴x≥6， 即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 19．(17分)已知函数f(x)＝log2·log4(2x). (1)求不等式f(x)>2的解集； (2)当x∈[1，16]时，求该函数的值域； (3)若f(x)<mlog4x对于任意x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围． 解：(1)f(x)＝log2·log4(2x)＝(log2x－log24)·(log22＋log2x)＝(log2x－2)·(log2x＋1). 令f(x)>2，则(log2x－2)(log2x＋1)>4，即(log2x)2－log2x－6＝(log2x－3)(log2x＋2)>0， ∴log2x>3或log2x<－2， 解得x>8或0<x<， 即f(x)>2的解集为(0，)∪(8，＋∞). (2)当x∈[1，16]时，log2x∈[0，4]， 令t＝log2x，则t∈[0，4]， 令g(t)＝(t－2)(t＋1)＝(t2－t－2)(0≤t≤4)， 由二次函数性质知， g(t)min＝g()＝－，g(t)max＝g(4)＝5， ∴g(t)∈[－，5]，即f(x)的值域为[－，5]. (3)当x∈[4，16]时，log4x∈[1，2]，∴f(x)<mlog4x等价于m>， ＝ ＝＝log2x－－1， 当x∈[4，16]时，log2x∈[2，4]， 令n＝log2x，则n∈[2，4]， ∵y＝n－在[2，4]上单调递增， ∴n－≤4－＝， 则log2x－－1≤－1＝，∴m>，即实数m的取值范围为(，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$