章末检测卷(2) 函数（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

章末检测卷(二)　函 数 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．[－1，0)∪(0，＋∞) D．R 解析：选C　要使函数有意义，需满足 即x≥－1且x≠0. 2．若函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[－3，0)，则f(x)的值域为(　　) A．[2，6]　　　　　B．[2，6) C．[2，3] D．[3，6] 解析：选B　f(x)＝(x＋2)2＋2， 当x＝－2时，f(x)min＝2， 又f(－3)＝3，f(0)＝6， 所以f(x)在[－3，0)上的值域为[2，6). 3．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的中的较小者，则f(x)的最大值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．无最大值 解析：选B　法一(直接法)：当2－x2≥x，即－2≤x≤1时，f(x)＝x，此时f(x)max＝1， 当2－x2<x，即x>1或x<－2时，f(x)＝2－x2，此时f(x)<1，综上知f(x)max＝1. 法二(数形结合法)：在同一坐标系中分别画出y＝2－x2和y＝x的图象，由题意知f(x)的图象为图中实线部分． 由图易知f(x)的最大值为1. 4．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　∵g(x)＝f(x)＋2， ∴g(－x)＝f(－x)＋2，又y＝f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0，∴g(x)＋g(－x)＝4，故g(1)＋g(－1)＝4，又g(1)＝1， ∴g(－1)＝3. 5．下列函数是偶函数且在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝ C．y＝|x| D．y＝－x2 解析：选D　由函数为偶函数可排除选项AB；对于选项C，函数y＝|x|在区间(－∞，0)上为减函数，故不正确；对于选项D，函数为偶函数，且在区间(－∞，0)上为增函数，故正确．故选D. 6．如果偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数且最小值是2，那么f(x)在(－∞，0]上是(　　) A．减函数且最小值是2 B．减函数且最大值是2 C．增函数且最小值是2 D．增函数且最大值是2 解析：选A　由偶函数图象关于y轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数f(x)在(－∞，0]上为减函数，且最小值为2. 7．若函数f(x)＝满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[1，3) C． D．(－∞，3) 解析：选C　∵对任意实数x1≠x2， 都有＞0成立， ∴f(x)在R上是增函数， ∴ 解得－≤a＜3.故选C. 8．已知函数f(x)＝若f(a－1)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．a＞ B．a＞1 C．a＜ D．a＜1 解析：选C　因为函数f(x)＝ 所以函数在R上是减函数， 因为f(a－1)>f(－a)， 所以a－1<－a，所以a<. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1] C．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 D．函数f(x)的定义域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的定义域为[－3，1] 解析：选CD　由空集不是它本身的真子集知，A错误；由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，B错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，C正确；由－2≤x＋1≤2得－3≤x≤1，D正确．故选CD. 10．函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2在[－1，2]上不单调，则实数a的取值可能是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选BC　因为二次函数f(x)＝x2－(4a－1)x＋2的图象开口向上，对称轴的方程为x＝，又因为函数f(x)在区间[－1，2]上不单调，所以－1<<2，解得－<a<，故选BC. 11．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　) A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1 B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值 C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5 D．f(x)在区间[0，a](a>1)上的最大值为f(a) 解析：选BC　函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当1<a≤2时，f(x)在区间[0，a]上的最大值为2，当a>2时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最大值为f(a)，D错误．因此选BC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．设函数f(x)＝已知f(x0)＝8，则x0＝________． 解析：∵当x≥2时，x＋2＝8解得x0＝；当x<2时，2x0＝8，x0＝4(舍去). 答案： 13．已知函数f(x)＝x2-m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则m＝________，f(m)＝________． 解析：由题意得，m2－m＝3＋m， 即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1， 当m＝3时，f(x)＝x-1， 此时x∈[－6，6]， ∵f(x)在x＝0处无意义，∴不符合题意； 当m＝－1时，f(x)＝x3，此时x∈[－2，2]， 函数f(x)在[－2，2]上是奇函数，符合题意， ∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 答案：－1　－1 14．若函数f (x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为________． 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0. 又因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2，2). 答案：(－2，2) 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知函数f(x)＝＋. (1)求函数f(x)的定义域； (2)当a<0时，求f(a)，f(a－1)的值． 解：(1)由题意得解得x≤3且x≠2， 故函数f(x)的定义域为{x|x≤3且x≠2}． (2)∵f(x)＝＋，x≤3且x≠2， ∴当a<0时，f(a)＝＋， f(a－1)＝＋＝＋. 16．(15分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如下图所示，请根据图象解答下列问题． (1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间； (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值． 解：(1)根据偶函数的性质及已知条件，将题中f(x)的图象补充完整(图略)，由函数图象知，f(x)的增区间为[－1，0]和[1，＋∞). (2)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2 ＋2(－x)＝x2－2x，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x) ＝f(－x)＝x2 －2x， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (3)由(2)知，g(x)＝x2－(2a＋2)x＋2(x∈[1，2]).因为函数y＝x2－(2a＋2)x＋2，x∈R的图象的对称轴为直线x＝－＝a＋1，所以 ①当a＋1≤1，即a≤0时，函数g(x)的最小值为g(1)＝1－2a； ②当a＋1≥2，即a≥1时，函数g(x)的最小值为g(2)＝2－4a； ③当1<a＋1<2，即0<a<1时，函数g(x)的最小值为g(a＋1)＝－a2－2a＋1. ∴g(x)min＝ 17．(15分)已知函数f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1，1]有＞0(m＋n≠0). (1)判断函数f(x)的单调性； (2)解不等式f<f(1－x). 解析：(1)设x1＝m，x2＝－n，且x1<x2，由已知可得>0，即f(x1)<f(x2). 由函数单调性的定义可得函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数． (2)由(1)知函数在区间[－1，1]上是增函数． 又由f＜f(1－x)， 得解得0≤x＜. 所以不等式f＜f(1－x)的解集为. 18．(17分)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)证明：f(x)为奇函数； (2)证明：f(x)在R上是减函数； (3)求函数f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值． 解：(1)证明：令x＝y＝0， 可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，得f(0)＝0. 令y＝－x， 可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)， 即f(x)＝－f(－x)，故f(x)为奇函数． (2)证明：设x1，x2∈R，且x2>x1， 则x2－x1>0，于是f(x2－x1)<0. 又f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 所以f(x2)－f(x1)<0， 所以f(x)在R上是减函数． (3)由(2)，知函数f(x)在[－3，6]上的最大值为f(－3)，最小值为f(6). f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－3f(1) ＝2， f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－2f(－3)＝－4， 所以f(x)在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4. 19．(17分)对于区间[a，b]和函数y＝f(x)，若同时满足： ①f(x)在[a，b]上是单调函数； ②函数y＝f(x)，x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f(x)的“不变”区间． (1)求函数y＝x2(x≥0)的所有“不变”区间； (2)函数y＝x2＋m(x≥0)是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)易知函数y＝x2 (x≥0)单调递增， 故有解得a＝0或1，b＝0或1， 又因为a<b， 所以所以函数y＝x2 (x≥0)的“不变”区间为[0，1]. (2)易知函数y＝x2＋m(x≥0)单调递增，若函数y＝x2＋m (x≥0)存在“不变”区间， 则有b>a≥0，且 消去m得a2－b2＝a－b， 整理得(a－b) (a＋b－1)＝0. 因为a<b，所以a＋b－1＝0，即b＝1－a. 又由b>a≥0，得1－a>a≥0， 所以0≤a<， 所以m＝－a2＋a＝－＋. 所以0≤m<. 综上所述，当0≤m<时， 函数y＝x2＋m(x≥0)存在“不变”区间． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$