课时作业(41) 古典概型的应用（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(四十一)　古典概型的应用 [基础达标练] 1．在一个试验中，若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B的关系是(　　) A．互斥不对立　　　　B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．以上答案都不对 答案：C 2．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)等于(　　) A.0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8 解析：选C　因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7. 3．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90 答案：A 4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　) A．60% B．30% C．10% D．50% 答案：D 5．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 解析：由题意知，事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为＋＝. 答案： 6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为________． 答案： 7．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘何种交通工具去？ 解析：(1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥，故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7，即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P， 则P＝1－P(A2)＝1－0.2－0.8. (3)由于0.3＋0.2＝0.5，0.1＋0.4＝0.5，1－(0.3＋0.2)＝0.5，1－(0.4＋0.1)＝0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 8．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶． (1)求每对亲子获得飞机玩具的概率； (2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由． 解：样本空间Ω＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，共16个样本点． (1)记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有(2，3)，(3，2)，(3，3)，共3个． 故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝. (2)记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C. 事件B包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，共6个． 所以P(B)＝＝， 事件C包含的样本点有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(2，0)，(3，0)，共7个， 所以P(C)＝. 所以P(B)<P(C)， 即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率． [能力提升练] 9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　) A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 解析：选D　由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必然事件，故各事件的关系可由右图表示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件． 10．已知a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是(　　) A． B． C． D． 解析：选A　∵a∈{0，1，2}，b∈{－1，1，3，5}， ∴共含有12个样本点． 函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数， ①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1； ②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1，1)，(2，－1)，(2，1)，共4种． ∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝. 11．同时抛掷两枚骰子，5点，6点都没有的概率为，则至少出现一个5点或6点的概率为________． 解析：设“既没有5点，也没有6点”的事件为A，“至少出现一个5点或6点”的事件为B，则A与B是对立事件．所以P(B)＝1－P(A)＝1－＝. 答案： 12．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示： 月收入 [1000， 1500) [1500， 2000) [2000， 2500) [2500， 3000) 概率 0.12 a b 0.14 已知月收入在[1000，3000)范围内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000)范围内的概率为________． 解析：记这个商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)范围内的事件分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67， 所以P(B∪C∪D)＝0.67－P(A)＝0.55. 答案：0.55 13．为积极配合世界大运会志愿者招募工作，某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，4名女同学共6名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的． (1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率； (2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率． 解：(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1，2，3，4，5，6(其中1，2是男同学，3，4，5，6是女同学)，样本空间为(1，2，3，4)，(1，2，3，5)，(1，2，3，6)，(1，2，4，5)，(1，2，4，6)，(1，2，5，6)，(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，(3，4，5，6)，共15个样本点， 当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1，3，4，5)，(1，3，4，6)，(1，3，5，6)，(1，4，5，6)，(2，3，4，5)，(2，3，4，6)，(2，3，5，6)，(2，4，5，6)，共8个样本点． 故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P＝. (2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选)，4名女同学当选这两种情况，而4名女同学当选的情况只有(3，4，5，6)，则其概率为P＝，又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为P＝，故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为P＝＋＝. [素养拓展练] 14．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图(如下图)： 人数统计表 序号 分组(岁) 本组中 “低碳族” 人数 “低碳族”人数在 本组中所占的比例 1 [25，30) 120 0.6 2 [30，35) 195 p 续表 3 [35，40) 100 0.5 4 [40，45) a 0.4 5 [45，50) 30 0.3 6 [50，55] 15 0.3 各年龄段人数频率分布直方图 (1)补全频率分布直方图，并求出n，p，a的值． (2)从[40，50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层随机抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45，50)岁年龄段中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以第二组高为＝0.06. 频率分布直方图如下图所示： 第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n＝＝1000. 已求得第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p＝＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60. (2)因为[40，45)岁年龄段的“低碳族”与[45，50)岁年龄段的“低碳族”的比为60∶30＝2∶1， 所以采用分层随机抽样法抽取6人，[40，45)岁年龄段中抽取4人，[45，50)岁年龄段中抽取2人． 设年龄在[40，45)岁中被抽取的4个人分别为A1，A2，A3，A4； 年龄在[45，50)岁中被抽取的2个人分别为B1，B2. 因为分成甲、乙两组的人数相同，共有10种不同方法， 记“[45，50)岁年龄段中被抽取的人恰好又分在同一组”为事件C，事件C包含的样本 点有4个，(A1，B1，B2；A2，B1，B2；A3，B1，B2；A4，B1，B2)，所以P(C)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$