课时作业(28) 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十八)　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 [基础达标练] 1．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x>0，xn>logax C．对任意的x>0，ax>logax D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax 答案：D 2．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　) A．a　　　B．b　　　C．c　　　D．d 答案：D 3．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如右图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．甲、乙跑的路程相同 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 答案：AC 4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案：甲 5．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者； ④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样． 其中，正确信息的序号是__________． 答案：①②③ 6．某商场2022年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型： ①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)＝10，f(3)＝2，则f(x)＝________________． 解析：①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为③，由f(1)＝10，f(3)＝2，得 解得p＝－8，q＝17， 所以，f(x)＝x2－8x＋17. 答案：③　x2－8x＋17 7．函数f(x)＝lg x，g(x) ＝0.3x－1的图象如下图所示： (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两函数图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1， C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)； 当x1<x<x2时，f(x)>g(x)； 当x>x2时，g(x)>f(x). 8．某企业常年生产一种出口产品，技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一： f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)； (2)因受2020年疫情误工的影响，2020年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2020年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f(x)＝logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合． 由已知得解得 所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N＋. (2)2020年预计年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10， 2020年实际年产量为10×(1－30%)＝7(万件). [能力提升练] 9．当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) 解析：选B　当a>1时，显然不成立．若0<a<1，当x＝时，4＝＝2，此时时数loga＝2，解得a＝，根据对数的图象和性质可知，要使4x<logax在0<x≤时恒成立，则有<a<1，如图，选B. 10．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于； ②每月减少的有害物质量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 解析：根据题意，函数的图象经过点，故函数为y＝.易知①③正确． 答案：①③ 11．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示． 以下四种说法： ①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________． 解析：由t∈[0，3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3，8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确． 答案：②③ 12．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，容器内水面的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应__________；C对应__________；D对应__________． 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快－慢－快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应． 答案：(4)　(1)　(3)　(2) 13．某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时资金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解析：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示). 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终不超过y＝3和y＝0.2x，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． [素养拓展练] 14．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x天所得回报是y元． 由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)； 方案二：y＝10x(x∈N＋)； 方案三：y＝0.4×2x-1(x∈N＋). 作出三个函数的图象如下图： 由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元， ∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三． 通过计算器计算列出三种方案的累积收入表． 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 … ∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天应选方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$