课时作业(22) 指数函数的图象和性质的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(二十二)　指数函数的图象和性质的应用 [基础达标练] 1．函数f(x)＝在[－1，0]上的最大值是(　　) A．－1　　　　　　　　B．0 C．1 D．3 答案：D 2．(多选)设函数f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，若f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2) C．f(1)>f(2) D．f(－4)>f(3) 答案：AD 3．设a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1，则(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 解析：选A　∵a＝0.40.2，b＝0.40.5，c＝20.1，∴0.40.5<0.40.2<0.40＝1，20.1>20＝1， ∴c>a>b. 4．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，1] 5．已知2x≤，则函数y＝的值域为________． 答案： 6．已知函数f(x)＝若对任意的x1，x2且x1≠x2都有>0成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由>0，可知f(x)在R上是增函数，所以 解得4≤a<8. 答案：[4，8) 7．已知函数f(x)＝＋(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)若xf(x)>0在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由ax－1≠0，解得x≠0. ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． (2)f(－x)＝＋＝＋ ＝＋＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)∵f(x)为奇函数， ∴xf(x)为偶函数． ∴xf(x)>0在其定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即＋>0在x∈(0，＋∞)上恒成立，即>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴ax>1在x∈(0，＋∞)上恒成立， ∴a>1. 故实数a的取值范围是(1，＋∞). 8．设函数f(x)＝，a是不为零的常数． (1)若f(3)＝，求使f(x)≥4的x的取值范围； (2)当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值是16，求a的值． 解：(1)由f(3)＝得a＝3， ∴不等式f(x)≥4可化为23x-10≥22， 由此可得3x－10≥2，∴x≥4， 故x的取值范围是[4，＋∞). (2)当a>0时，f(x)＝＝2ax-10是增函数，则当x∈[－1，2]时，f (x)max＝f(2)＝22a-10＝16， ∴a＝7； 当a<0时，f(x)＝＝2ax-10是减函数，则当x∈[－1，2]时，f(x)max＝f(－1)＝2－a-10＝16， ∴a＝－14. 综上，a＝－14或a＝7. [能力提升练] 9．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 解析：选D　对于指数函数y＝ax，若x<0，则当0<a<1时，有ax>1；当a>1时，有0<ax<1. 所以0<<1， >1，>1. 又因为函数y＝在R上是减函数， 且－<－， 所以>. 综上知，>>， 即c<b<a. 10．已知实数a，b满足等式＝，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中，不可能成立的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B　作y＝与y＝的图象． 当a＝b＝0时，＝＝1； 当a<b<0时，可以使＝； 当a>b>0时，也可以使＝. 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④. 11．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是________． 解析：法一：由指数函数的性质可知f(x)＝在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]. 法二：f(x)＝＝ 可画出f(x)的图象求其单调递增区间． 答案：(－∞，1] 12．若不等式3ax2－2ax＞对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：不等式即为3ax2－2ax＞3-1， 则有ax2－2ax>－1， 即ax2－2ax＋1>0对一切实数x恒成立， 当a＝0时，满足题意， 当a≠0时，要满足题意，则需a>0且Δ＝(－2a)2－4a<0，即a2－a<0，解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围是[0，1). 答案：[0，1) 13．已知函数f(x)＝a－(x∈R). (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 解：(1)因为f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. 因为x1<x2， 所以2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2) ＞0. 所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2).所以不论a为何实数， f(x)在(－∞，＋∞)上总为增函数． (2)因为f(x)在R上为奇函数， 所以f(0)＝0， 即a－＝0，解得a＝. 经检验，a＝时，f(x)＝－是奇函数． (3)由(2)知，f(x)＝－， 由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1). 因为f(1)＝－＝， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. [素养拓展练] 14．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是奇函数， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 经检验，b＝1满足题意． (2)由(1)知，f(x)＝＝－＋， 设∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 因为函数y＝2x在R上是增函数且x1<x2， 又(2x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． (3)因为f(x)是奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0， 则f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， 因为由(2)知f(x)为减函数，所以t2－2t>k－2t2， 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 则Δ＝4＋12k<0，解得k<－， 故k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$