课时作业(17) 函数的单调性和最值（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十七)　函数的单调性和最值 [基础达标练] 1．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．＞0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b) D．＞0 答案：ABD 2．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2)　　　　　　　B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) 解析：选C　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5). 3．函数y＝－|x＋1|在区间[－2，0]上是(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．先减后增 D．先增后减 解析：选D　函数y＝－|x＋1|的图象如图， ∴函数y＝－|x＋1|在[－2，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减． 4．若函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围为(　　) A. B． C． D． 答案：A 5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[1，2]上不单调，则实数a的取值范围为________． 解析：函数f(x)的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间[1，2]上不单调，则1<－<2，解得－4<a<－2. 答案：(－4，－2) 6．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是____________． 答案：[－1，1]或[3，＋∞) 7．已知函数f(x)＝，x∈[3，7]. (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)函数f(x)在区间[3，7]内单调递减，证明如下： 在[3，7]上任意取两个数x1和x2， 且设x1>x2， ∵f(x1)＝，f(x2)＝， ∴f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵x1，x2∈[3，7]，x1＞x2， ∴x1－2＞0，x2－2＞0，x2－x1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝＜0. 即f(x1)＜f(x2)，由单调函数的定义可知，函数f(x)为[3，7]上的减函数． (2)由单调函数的定义可得f(x)max＝f(3)＝4，f(x)min＝f(7)＝. 8．已知二次函数y＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)若a＝－1，写出函数的单调递增区间和单调递减区间； (2)若a＝－2时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数在[－4，6]上具有单调性，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，因为x∈[－4，6]，所以函数的单调递增区间为[1，6]，单调递减区间为[－4，1). (2)当a＝－2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4，6]，所以函数的单调递增区间为[2，6]，单调递减区间为[－4，2)，所以函数的最大值为f(－4)＝35，最小值为f(2)＝－1. (3)由y＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2可得，函数的对称轴为x＝－a，因为函数在[－4，6]上具有单调性，所以a≤－6或a≥4，即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞). [能力提升练] 9．已知f(x)是定义在(－∞，0]上的增函数，且f(－2)＝3，则满足f(2x－3)＜3的x的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，3) D． 解析：选A　由题意，f(2x－3)＜f(－2)， 因为f(x)在(－∞，0]上是增函数， 则解得x＜. 10．(多选)下列函数中，不满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1 C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝|x| 解析：选AB　>0⇔f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，所以A，B不满足； f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1， 所以C满足； f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以D满足． 11．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝________． 解析： 因为f(x)在[1，b]上单调递减， 所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4. 答案：4 12．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________． 解析：y＝|x|(1－x)＝作出其图象(图略)，可知单调递增区间为. 答案： 13．已知f(x)＝(x≠a). (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：任设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵(x1＋2)(x2＋2)>0, x1－x2<0， ∴f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1＜x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝－ ＝. ∵a>0，x2－x1>0， ∴要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a) (x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述0<a≤1. ∴a的取值范围为(0，1]. [素养拓展练] 14．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f＝1，且对于任意0＜α＜β，都有f(α)＞f(β). (1)求f(1)； (2)若f(2x)－f(2－x)≥－1，求实数x的取值范围． 解：(1)令x＝y＝1， 得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. (2)由f(2x)－f(2－x)≥－1得f(2x)＋f≥f(2－x)，即f(x)≥f(2－x)，又由题意知，f(x)在(0，＋∞)上递减， 所以解得0<x≤1， 所以x的取值范围为(0，1]. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$