课时作业(9) 基本不等式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(九)　基本不等式 [基础达标练] 1．已知0＜x＜1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A．　　　　　　　　　　B． C． D． 答案：B 2．已知x>0，则＋x的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选A　∵x>0，∴＋x≥2＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时取得最小值6. 3．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是(　　) A．x>y B．y>x C．x>2y D．y>x 解析：选B　y2＝()2＝a＋b＝>＝＝x2， 由题意知x>0，y>0，∴y>x. 4．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A.≤(a＞0，b＞0) B．＜(a＞0，b＞0，a≠b) C．≤(a＞0，b＞0) D．＜＜(a＞0，b＞0，a≠b) 答案：D 5．设a，b为非零实数，给出下列不等式： ①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号) 解析：由a2＋b2≥2ab，可知①正确； ＝＝≥＝＝，可知②正确； 当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确； 当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：①② 6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 答案：x≤ 7．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4. 证明：＋＝＋＝1＋＋＋1 ＝2＋＋≥2＋2 ＝4. 当且仅当a＝b时“等号”成立． 8．已知x<3，求＋x的最大值． 解：∵x<3，∴x－3<0， ∴＋x＝＋(x－3)＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－1， 当且仅当＝3－x，即x＝1时，等号成立， ∴＋x的最大值为－1. [能力提升练] 9．(多选)已知a＞0，b＞0，则下列不等式关系正确的是(　　) A．ab≤ B．ab≤ C．≥ D．≤ 解析：选ABC　由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤， ∴≥，故选ABC. 10．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是(　　) A.ab有最小值 B．＋有最小值 C．＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 解析：选ABD　∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，∴ab有最大值，∴选项A错误；(＋)2 ＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2＝2，∴＋≤，即＋有最大值，∴B项错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝， ∴a2＋b2的最小值是，不是， ∴D错误． 11．若a>0，b>0，则＋＋2的最小值是________． 解析：∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 答案：4 12．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________． 解析：f(x)＝4x＋≥2 ＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4， ∴＝3，即a＝36. 答案：36 13．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴≥，≥，≥， ∴＋＋≥ ＋＋， 即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等， ∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. [素养拓展练] 14．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． 解：因为x＋y＝(x＋y)·1 ＝(x＋y)· ＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝，即＝时，等号成立， 所以x＋y的最小值为(＋)2＝18， 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$