第7章 §4 事件的独立性（课件PPT）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第七章 概率 §4　事件的独立性 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（四十三） Part 03 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 没有影响 P(A)P(B) A B 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） A 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （四十三） 点击进入word 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第七章 概率 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.理解两个随机事件独立的含义和相互独立事件的性质． 2.理解两个相互独立事件同时发生的概率公式，会利用独立性计算概率． 1.通过学习事件的独立性的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.通过计算相互独立事件的概率，培养数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　事件的独立性 [问题]　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”． (1)事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ (2)P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ (3)P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ 答：(1)不影响． (2)P(A)＝ eq \f(3,5)，P(B)＝ eq \f(1,2)， P(AB)＝ eq \f(3×2,5×4)＝ eq \f(3,10). (3)P(AB)＝P(A)·P(B). ►知识填空 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率________，这样的两个事件叫作相互独立事件 公式 P(AB)＝________________ 续表 性质 若事件A与B相互独立，那么__与 eq \x\to(B)， eq \x\to(A)与__， eq \x\to(A)与 eq \x\to(B)也都相互独立 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件 eq \o(A,\s\up16(－))与事件B也相互独立．(　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)))·P( eq \o(B,\s\up16(－))).(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　) A． eq \f(14,25)　　　　　　　　　B． eq \f(12,25) C． eq \f(3,4) D． eq \f(3,5) 3．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.4 D．0.3 解析：选D　事件“问题由乙答对”的含义是甲答错与乙答对同时发生了，由相互独立事件同时发生的概率可知，概率为P＝0.6×0.5＝0.3. 4．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.064 答案：B 题型一　相互独立事件的判断 [例 1]　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性． (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． 解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为 eq \f(1,4).这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝ eq \f(1,2)，P(B)＝ eq \f(3,4)； P(A∪B)＝ eq \f(1,2).由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男， 男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为 eq \f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，A∩B中含有3个基本事件． 于是P(A)＝ eq \f(6,8)＝ eq \f(3,4).P(B)＝ eq \f(4,8)＝ eq \f(1,2)， P(A∩B)＝ eq \f(3,8)，显然有P(A∩B)＝ eq \f(3,8)＝P(A)P(B)成立． 从而事件A与B是相互独立的． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(A∩B) ＝P(A)P(B)是否成立． 　(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” 解析：选AC　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A事件为出现1，3，5点，P(A)＝ eq \f(1,2)，P(B)＝ eq \f(1,3)，事件AB为出现3点，P(AB)＝ eq \f(1,6)，P(AB)＝ P(A) P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件． 题型二　求相互独立事件的概率 [例 2]　甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求： (1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率． 解：设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B， eq \o(A,\s\up16(－))与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－))， eq \o(A,\s\up16(－))与 eq \o(B,\s\up16(－))为相互被立事件． (1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝ P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72. (2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A eq \o(B,\s\up16(－))发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件 eq \o(A,\s\up16(－))B发生).根据题意，事件A eq \o(B,\s\up16(－))与 eq \o(A,\s\up16(－))B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(A)·P( eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－)))·P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26. (3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－))B)]＝0.72＋0.26＝0.98. (4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为 P＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)))＋P(A eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))·P( eq \o(B,\s\up16(－)))＋P(A)·P( eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－)))·P(B) ＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则 eq \o(A,\s\up16(－))与B，A与 eq \o(B,\s\up16(－))， eq \o(A,\s\up16(－))与 eq \o(B,\s\up16(－))也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解． 　小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P( eq \o(A,\s\up16(－)))＝0.2，P( eq \o(B,\s\up16(－)))＝0.3，P( eq \o(C,\s\up16(－)))＝0.1. (1)由题意得，A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P( eq \o(A,\s\up16(－))BC)＋P(A eq \o(B,\s\up16(－))C)＋P(AB eq \o(C,\s\up16(－)))＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)P(C)＋P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)))P(C)＋P(A)P(B)P( eq \o(C,\s\up16(－)))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－P( eq \o(A,\s\up16(－)))P( eq \o(B,\s\up16(－)))P( eq \o(C,\s\up16(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 题型三　相互独立事件概率的综合问题 [例 3]　某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问在一次考试中： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－))表示，P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) eq \o(C,\s\up16(－)))＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P( eq \o(B,\s\up16(－)))P( eq \o(C,\s\up16(－))) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.9)(1－0.8) (1－0. 85)＝0.003. 所以三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003. (2)“恰好一科成绩未获得第一名”可以用( eq \o(A,\s\up16(－))BC)＋(A eq \o(B,\s\up16(－))C)＋(AB eq \o(C,\s\up16(－)))表示． 由于事件 eq \o(A,\s\up16(－))BC，A eq \o(B,\s\up16(－))C和AB eq \o(C,\s\up16(－))两两互斥， 根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P( eq \o(A,\s\up16(－))BC) ＋P(A eq \o(B,\s\up16(－))C) ＋P(AB eq \o(C,\s\up16(－))) ＝P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)P(C)＋P(A)P( eq \o(B,\s\up16(－)))P(C)＋P(A)P(B)P( eq \o(C,\s\up16(－)))＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329， 所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329. eq \a\vs4\al([反思感悟]) (1)关键：把文字语言与符号语言进行转化，加强语言间的转化可快速解题． (2)注意点 ①确定事件关系，看是否相互独立、彼此互斥． ②熟记基本事件运算：如A，B至少有一个发生的事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为(A eq \o(B,\s\up16(－)))∪( eq \x\to(A)B)；至多有一个发生的事件记为(A eq \o(B,\s\up16(－)))∪( eq \x\to(A)B)∪( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－))). [提醒]　事件是否相互独立，一般情况实际问题都已给出，注意问题的说法即可，不用另作判断． 　 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 eq \f(1,4)， eq \f(1,2)；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率． 解：甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1－ eq \f(1,4)－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,4)，1－ eq \f(1,2)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(1,4). (1)租车费用可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况． 都付0元的概率为P1＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,8)， 都付2元的概率为P2＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,8)， 都付4元的概率为P3＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,16). 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝ eq \f(5,16). (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则ξ＝4表示两人的租车费用之和为4元，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元． 所以可得P(ξ＝4)＝ eq \f(1,4)× eq \f(1,4)＋ eq \f(1,2)× eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(5,16)， 即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为 eq \f(5,16). [课堂小结] 1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 两个事件不可能同时发生，即A∩B＝∅. 概率公式 A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)P(B). 若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立． 1. 相互独立事件同时发生的概率P(A∩B) ＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积． $$