第4章 §2.2 换底公式（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第四章 对数运算与对数函数 §2.2　换底公式 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（二十五） Part 03 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 1 logab －logab 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） D B －12 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （二十五） 点击进入word 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第四章 对数运算与对数函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.会用换底公式进行对数运算． 2.能利用对数的运算性质、换底公式进行对数的综合应用． 1.通过推导换底公式，发展逻辑推理的核心素养． 2.通过对数的运算，提升数学运算的核心素养． 3.通过对数运算在实际问题中的应用，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点　换底公式 [问题1]　假设 eq \f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？ 答：把3x＝5化为对数式为log35＝x，又因为x＝ eq \f(log25,log23)， 所以得出log35＝ eq \f(log25,log23)的结论． [问题2]　由问题1你能猜测出 eq \f(logcb,logca)与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？ 答：结论为 eq \f(logcb,logca)＝logab. 证明　令 eq \f(logcb,logca)＝x⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒ eq \f(logcb,logca)＝logab. ►知识填空 1．对数换底公式 若a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1，则logab＝________． 2．由换底公式推出的常用结论 (1)logab·logbc·logca＝__． (2)log eq \o\al(n,a)bn＝__________． (3)log eq \o\al(n,a)bm＝____________． (4)log eq \s\do9(\f(1,a))b＝____________． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log23·log32＝1. (2)log48＝ eq \f(2,3)log23. (3)log925＝log35. 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．计算：(log29)·(log34)＝(　　) A． eq \f(1,4)　　　　　　　　　B． eq \f(1,2) C．2 D．4 3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　) A． eq \f(b,a) B． eq \f(a＋b,a) C．ab D．a＋b 4.计算：log2 eq \f(1,25)·log3 eq \f(1,8)·log5 eq \f(1,9)＝________． 题型一　利用换底公式化简求值 [例 1]　计算： (1)log1627·log8132； (2)(log32＋log92)(log43＋log83). 解：(1)log1627·log8132＝ eq \f(lg 27,lg 16)× eq \f(lg 32,lg 81)＝ eq \f(lg 33,lg 24)× eq \f(lg 25,lg 34)＝ eq \f(3lg 3,4lg 2)× eq \f(5lg 2,4lg 3)＝ eq \f(15,16). (2)(log32＋log92)(log43＋log83) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) ＝ eq \f(3,2)log32× eq \f(5,6)log23＝ eq \f(5,4)× eq \f(lg 2,lg 3)× eq \f(lg 3,lg 2)＝ eq \f(5,4). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 利用换底公式化简与求值的思路 　　 　计算： (1)log29·log34； (2) eq \f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)). 解：(1)由换底公式可得， log29·log34＝ eq \f(lg 9,lg 2)· eq \f(lg 4,lg 3)＝ eq \f(2lg 3,lg 2)· eq \f(2lg 2,lg 3)＝4. (2)原式＝ eq \f(log5\r(2),log5\f(1,3))× eq \f(log79,log7\r(3,4) ) ＝log eq \s\do9(\f(1,3)) eq \r(2)×log eq \r(3,4)9 ＝ eq \f(lg \r(2),lg \f(1,3))× eq \f(lg 9,lg 4\s\up16(\f(1,3))) ＝ eq \f(\f(1,2)lg 2,－lg 3)× eq \f(2lg 3,\f(2,3)lg 2)＝－ eq \f(3,2). 题型二　用已知对数表示其他对数 [例 2]　已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示). 解：法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，于是log3645＝ eq \f(log1845,log1836)＝ eq \f(log18(9×5),log18\f(182,9))＝ eq \f(log189＋log185,2log1818－log189)＝ eq \f(a＋b,2－a). 法二：因为 eq \f(lg 9,lg 18)＝log189＝a， 所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18， 所以log3645＝ eq \f(lg 45,lg 36)＝ eq \f(lg (9×5),lg \f(182,9))＝ eq \f(lg 9＋lg 5,2lg 18－lg 9)＝ eq \f(a lg 18＋b lg 18,2lg 18－a lg 18)＝ eq \f(a＋b,2－a). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 用已知对数表示其他对数的思路 (1)统一底数：巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种问题的关键； (2)分拆代换：结合对数运算法则，把所求向已知条件靠拢，巧妙代换求值． 　已知log3 7＝a，2b＝3，试用a，b表示log1456. 解：因为2b＝3，所以b＝log23，所以即log32＝ eq \f(1,b)， 所以log1456＝ eq \f(log356,log314)＝ eq \f(log3(23×7),log3(2×7))＝ eq \f(3log32＋log37,log32＋log37)＝ eq \f(\f(3,b)＋a,\f(1,b)＋a)＝ eq \f(3＋ab,1＋ab). 题型三　对数运算的综合应用 [例 3]　(1)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz， eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)＝0，求abc的值； (2)已知5x＝2y＝( eq \r(10))z，且x，y，z≠0，求 eq \f(z,x)＋ eq \f(z,y)的值． 解：(1)设ax＝by＝cz＝t， 则x＝logat ，y＝logbt ，z＝logct， ∴ eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＋ eq \f(1,z)＝ eq \f(1,logat)＋ eq \f(1,logbt)＋ eq \f(1,logct) ＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0， ∴abc＝t0＝1，即abc＝1. (2)令5x＝2y＝( eq \r(10))z＝k， 则x＝log5k，y＝log2k， eq \f(1,2)z＝lg k，z＝2lg k， ∴ eq \f(z,x)＋ eq \f(z,y)＝ eq \f(2lg k,log5k)＋ eq \f(2lg k,log2k) ＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2. 即 eq \f(z,x)＋ eq \f(z,y)＝2. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解带有附加条件的对数运算的策略 与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．对于条件中的连等式，通常设它们等于一个参数t，用t表示其他变量．　　 　设3x＝4y＝36，求 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的值． 解：法一：∵3x＝36，4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436. ∴ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,log336)＝ eq \f(1,\f(log3636,log363))＝log363， eq \f(1,y)＝ eq \f(1,log436)＝ eq \f(1,\f(log3636,log364))＝log364. ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.x 法二：对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636，即xlog63＝ylog64＝2. ∴ eq \f(2,x)＝log63， eq \f(1,y)＝log62. ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1， 即 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝1. [课堂小结] 1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．对数运算的应用在数式变形中占有重要地位，要给予足够的重视．提升数学运算核心素养，提高运算求解能力． $$