第2章 §4.2 简单幂函数的图象和性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第二章 函数 　 §4.2　简单幂函数的图象和性质 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（十九） Part 03 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 自变量 常数 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 在(－∞，0] 上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递增 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 (1，1) 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） A 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） D 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （十九） 点击进入word 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.了解幂函数的概念． 2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x eq \s\up6(\f(1,2))的图象，了解它们的变化情况． 3.掌握五种幂函数的性质并会应用． 1.通过幂函数概念的学习，体现数学抽象的核心素养． 2.借助幂函数图象与性质的探究，培养直观想象、逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点一　幂函数的概念 [问题1]　y＝2x2和y＝x2＋x是不是幂函数？ 答：__________________________________ 问题2]　幂函数的解析式有什么特征？ 答：__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 不是，形式不符合幂函数的定义要求． (1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂xα的系数为1.(4)只有1项． ►知识填空 形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是______、 指数是____的函数称为幂函数． 知识点二　幂函数的图象与性质 观察下面函数图象，思考如下问题： [问题1]　在第一象限，图象有何特点？ 答：____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ [问题2]　这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ 答：____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ [问题3]　为什么幂函数在第四象限内不存在图象？ 答：___________________________________________________________ __________________________________________________________ 都过点(1，1)；只有y＝x-1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大． y＝x，y＝x3，y＝x-1是奇函数；y＝x2偶函数；y＝x eq \s\up6(\f(1,2))是非奇非偶函数． 当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象． ►知识填空 幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x eq \s\up6(\f(1,2))，y＝x-1的图象与性质． y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) y＝x-1 图象 定义域 R R R _________ ____________________ 值域 R __________ R _________ ____________________ 奇偶性 ______ ______ ______ ____________ ______ 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 ________________________________________ 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递减 公共点 __________ [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现．(　　) (2)当α<0时，幂函数在R上是减函数．(　　) (3)当α＝0时，幂函数的图象是一条直线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．下列函数为幂函数的是(　　) A．y＝x2　　　　　　　　B．y＝－x2 C．y＝2x D．y＝2x2 3．设α∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________． 解析：当幂函数为奇函数时，α＝－1，1，3， 又函数的定义域为R， 所以α≠－1，所以α＝1，3. 答案：1，3 4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________． 答案： eq \f(1,2) 题型一　幂函数的概念 [例 1]　(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于(　　) A． eq \f(1,2)　　　　　　　　　　　B．1 C． eq \f(3,2) D．2 解析：选C　由幂函数的定义知k＝1. 又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝ eq \f(\r(2),2)，所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(α)＝ eq \f(\r(2),2)， 解得α＝ eq \f(1,2)，从而k＋α＝ eq \f(3,2). (2)已知函数f(x)＝(3－m)x2m-5是幂函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________． 解析：函数f(x)＝(3－m)x2m-5是幂函数，则3－m＝1，解得m＝2，所以f(x)＝x-1，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2. 答案：2 eq \a\vs4\al([反思感悟]) 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．　　 　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解：由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2)．)) 所以m＝－3或1，n＝ eq \f(3,2). 题型二　幂函数的图象和性质 [例 2]　已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． 解析：因为f(x)＝xα的图象过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝ eq \f(1,4)，即2α＝ eq \f(1,4)， 得α＝－2， 即f(x) ＝x-2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 1．求幂函数y＝xα(其中α是分数形式)定义域的基本步骤 (1)还原为根式． (2)根据根式和分式有意义的条件求幂函数的定义域． 2．作幂函数图象的原则和方法 (1)原则：作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等． (2)方法：首先作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．　　 　函数y＝x－ eq \f(1,2)的图象大致是(　　) 题型三　幂的大小比较 [例 3]　比较下列各组数中两个数的大小． (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(0.5)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(0.5)； (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1). 解： (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又 eq \f(2,5)> eq \f(1,3)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) eq \s\up12(0.5)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(0.5). (2)∵幂函数y＝x-1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－ eq \f(2,3)<－ eq \f(3,5)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))) eq \s\up12(－1)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) eq \s\up12(－1). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 利用单调性比较幂值大小的方法 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小． (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． (3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等． 　下列各组数中两个数的大小． (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(0.5)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(0.5)； (2)－3.143与－π3. 解：(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且 eq \f(2,3)> eq \f(3,5)，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(0.5)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5))) eq \s\up12(0.5). (2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π. [课堂小结] 简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数． $$