第2章 §4.1 函数的奇偶性（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第二章 函数 　 §4.1　函数的奇偶性 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（十八） Part 03 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） －f(x) 原点 f(x) y轴 奇偶 原点 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） C 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） C 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （十八） 点击进入word 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.了解函数奇偶性的含义． 2.掌握判断函数奇偶性的方法． 3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 1.通过函数奇偶性定义的学习，提升数学抽象的核心素养． 2.借助利用奇偶性求参数问题，培养数学运算的核心素养． 3.通过了解函数奇偶性与函数对称性之间的关系，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的奇偶性 [问题1]　奇函数、偶函数的定义域有什么特征？ 答：___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ [问题2]　一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？ 答：________________________________________________________ 由于f(－x)与f(x)都有意义，故－x和x同时属于定义域，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．换言之，若函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数． [问题3]　从函数图象看，奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致？ 答：__________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反． ►知识填空 1．奇函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝__________，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于____对称，反之亦然． 2．偶函数 设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x) ＝________，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于____对称，反之亦然． 3．奇偶性 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有____性．奇函数和偶函数的定义域均关于____对称，如(－∞，＋∞)，(－a，a)，[－a，a](a＞0)等． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) (2)奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若对于定义域内的任意一个x，都有函数f(x)＋f(－x)＝0，则函数f(x)是奇函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|x|　　　　　B．y＝3－x C．y＝ eq \f(1,x3) D．y＝－x3＋14 3．f(x)＝x3＋ eq \f(1,x)的图象关于(　　) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 解析：选A　由于f(－x)＝(－x)3＋ eq \f(1,－x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x)))＝－f(x)，且定义域为{x|x≠0}，所以f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称． 4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________． 答案：－3 题型一　判断函数的奇偶性 [例 1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ eq \f(2x2＋2x,x＋1)；(2)f(x)＝x3－2x； (3)f(x)＝x2＋1；(4)f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2). 解：(1)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． (2)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－(x3－2x)＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x3－2x是奇函数． (3)函数的定义域为R. ∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴函数f(x) ＝x2＋1是偶函数． (4)∵函数的定义域为{－1，1}且f(x)＝0，f(－1)＝0，f(1)＝0， ∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1). ∴函数f(x)＝ eq \r(x2－1)＋ eq \r(1－x2)既是奇函数，又是偶函数． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． (2)图象法．　　 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x＋ eq \f(1,2x)； (2)f(x)＝x2－|x|＋1； (3)f(x)＝3x＋1； (4)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|. 解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x＋ eq \f(1,－2x)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2x)))＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为R，f(1)＝4，f(－1)＝－2， ∴f(1)≠f(－1)，f(－1)≠－f(1). ∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)法一：(定义法)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的定义域为R，∵f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)， ∴f(x)＝|x＋2|＋|x－2|是偶函数． 法二：(图象法)函数f(x)的定义域为R， f(x)＝|x＋2|＋|x－2|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x>2，,4，－2≤x≤2，,－2x，x<－2，)) 画出函数图象如图所示， ∵图象关于y轴对称，∴函数f(x)是偶函数． 题型二　利用函数的奇偶性求解析式 [例 2]　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函数， 故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 故f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3 ，x<0.)) eq \a\vs4\al([反思感悟]) 已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．　　 1．f(x)为R上的奇函数，且当x≥0，f(x)＝x(1＋x3)，则当x＜0时，f(x)为(　　) A．x(1＋x3)　　　　　　　B．－x(1－x3) B．x(1－x3) D．－x(1＋x3) 2．(变条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0, f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)，所以f(x) ＝x2＋2x＋3，即当x<0时，f(x) ＝x2＋2x＋3. 题型三　奇偶性与单调性的综合应用 [例 3]　已知函数f(x)的定义域为(－2，2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x). (1)求函数g(x)的定义域； (2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上是减函数，求不等式g(x)≤0的解集． 解：(1)由题意可知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＜x－1＜2，,－2＜3－2x＜2，)) 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1＜x＜3，,\f(1,2)＜x＜\f(5,2)．))解得 eq \f(1,2)＜x＜ eq \f(5,2)， 故函数g(x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))). (2)由g(x)≤0， 得f(x－1)＋f (3－2x)≤0， 所以f(x－1)≤－f(3－2x). 因为f(x)为奇函数， 所以f(x－1)≤f(2x－3). 而f(x)在(－2，2)上是减函数， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥2x－3，,\f(1,2)＜x＜\f(5,2)．))解得 eq \f(1,2)<x≤2. 故不等式g(x)≤0的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 奇偶性、单调性的综合应用 利用奇偶性可以求值以及式子、性质的转化，利用单调性主要解决不等式的转化，在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧，熟练应用．　　 1．已知函数f(x)是定义在[－5，5]上的偶函数，且在[0，5]上单调，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.f(－1)<f(3) B．f(2)<f(3) C．f(－3)<f(5) D．f(0)>f(1) 解析：选D　由题意可得，函数f(x)在[－5，0)上单调，再根据f(－4)<f(－2)，可得函数f(x)在[－5，0)上单调递增，故函数f(x)在[0，5]上单调递减，故f(0)>f(1). 2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围． 解：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|). 又|a|≥0，且f(|a|)<f(2)， ∴|a|>2，即a>2或a<－2. ∴实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). [课堂小结] 1．奇偶函数的定义 对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． 2．奇偶函数的性质 (1)函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． (3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 3．奇偶性的判断方法 判断函数奇偶性时，需先依据解析式求出定义域，在定义域关于原点对称的前提下，判断解析式是否满足f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x). $$