第2章 §2.2 函数的表示法（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第二章 函数 　 §2.2　函数的表示法 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（十六） Part 03 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （十六） 点击进入word 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第二章 函数 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.掌握函数的三种表示方法． 2.会求函数的解析式． 1.借助函数的表示的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.通过作函数的图象，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点　函数的三种表示法 ►知识填空 1． 2.函数三种表示法的优缺点 [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√“，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示．(　　) (3)函数y＝x2的图象向右平移3个单位可得函数y＝(x＋3)2的图象．(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)和g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x) 2 1 4 3 若g(f(x))＝2时，则x等于(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 解析：选A　若g(f(x))＝2，由表知g(1)＝2，∴f(x)＝1，∴x＝4. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1 C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4 解析：选A　法一：令2x＋1＝t， 则x＝ eq \f(t－1,2). 所以f(t)＝6× eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 法二：因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2， 所以f(x)＝3x＋2. 4．若函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________． 答案：[－5，5]　[－2，3] 题型一　函数的三种表示方法 [例 1]　某商场新进了10台冰箱，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 解：(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 应用函数三种表示方法应注意以下三点 (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．　 　已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋ eq \f(b,x)，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示函数； (3)画出函数t的图象． 解：(1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)＝100，,14a＋\f(b,14)＝28，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝196，)) 所以t＝x＋ eq \f(196,x)，又因为x≤20，x为正整数， 所以函数的定义域为{x∈N＋|0<x≤20}． (2)x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，共取20个值，列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8 注：表中的部分数据是近似值． (3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示． 题型二　函数的图象及应用 [例 2]　作出下列函数的图象，并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2 －4x－3(0≤x<3). 解析：(1)因为x∈Z，所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①)，由图象知，y∈Z. (2)因为x∈[0，3)，所以函数图象是抛物线的一段(如图②)，由图象知，y∈[－5，3). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 1．描点法作函数图象的“三步曲” 一列二描三连线：(1)取自变量的若干个值，求出相应函数值，列表；(2)在平面直角坐标系中描出表中相应的点；(3)用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象． 2．作函数图象的注意事项 (1)应先确定函数的定义域，在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点．例如，图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，注意分清这些关键的点是实心点还是空心点．　　 　作出下列函数的图象，并写出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝ eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞). 解：(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5. 函数图象过点(0，1)，(1，3)，(2，5). 图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为[1，5]. (2)当x＝2时，y＝1；当x＝4时，y＝ eq \f(1,2)；当x＝6时，y＝ eq \f(1,3).图象如下图所示． 由图可知，函数的值域为(0，1]. 题型三　求函数的解析式 [例 3]　(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)，求f(x)的解析式； (3)已知函数y＝f(x)满足f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，求f(x). 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则f(f(x))＝k(kx＋b) ＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4.))解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x) ＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)法一：(配凑法) ∵f( eq \r(x)＋1)＝x＋2 eq \r(x)＝( eq \r(x)＋1)2－1( eq \r(x)＋1≥1)， ∴f(x) ＝x2－1(x≥1). 法二： (换元法) 令 eq \r(x)＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 eq \r((t－1)2)＝t2－1(t≥1). ∴f(x) ＝x2－1(x≥1). (3)在已知等式中，将x换成 eq \f(1,x)，得 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝ eq \f(1,x)，与已知方程联立，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝\f(1,x)，)) 消去f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，得f(x)＝－ eq \f(x,3)＋ eq \f(2,3x). eq \a\vs4\al([反思归纳]) 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)解方程组法：已知f(x)与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).　　 1．已知f(x)为二次函数，且f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________． 2．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝ eq \f(x,1＋2x2)，则f(x)＝________． 答案：2x2－x＋1 答案： eq \f(x,x2＋2)(x≠0) 题型四　分段函数及其应用 [例 4]　已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0＜x≤4，,－x＋2，x＞4.)) (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数f(x)的图象，观察图象写出此函数的值域． 解析： (1)因为5>4, 所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0， 所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4， 所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如下图所示， 观察图象可知此函数的值域为(－∞，8]. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 1．分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． 2．分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象，在作每一段图象时，要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． [课堂小结] 1．一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线． 2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，并应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法). $$