第1章 预备知识 章末复习课（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　章末复习课 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 体系构建 本章要点 Part 02 Part 03 章末检测卷（一） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　B 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 章末检测卷(一) 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 一、集合的概念与运算 1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此时，数轴分析(或Venn图)是个好帮手，能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解． 2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养． [例 1]　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ [解]　(1)A＝{x|0≤x≤2}． ∴∁RA＝{x|x＜0或x＞2}． ∵(∁RA)∪B＝R.∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.)) ∴－1≤a≤0. (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3. ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在． 1．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若A∩C≠∅，求a的取值范围． 解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}． ∵∁UA ＝{x|x<2或x>8}， ∴(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}． (2)∵A∩C≠∅，作图易知，只要a在8的左边即可， ∴a<8. ∴a的取值范围为{a|a<8}． 二、常用逻辑用语 1．若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的必要条件． 2．先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 3．全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题． [例 2]　(1)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　) A．p是假命题，命题p的否定：∃x∈R， x2＜0 B．p是假命题，命题p的否定：∃x∈R， x2≤0 C．p是真命题，命题p的否定：∀x∈R， x2＜0 D．p是真命题，命题p的否定：∀x∈R， x2≤0 (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是(　　) A．m≥1　　　　　　　B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 [解析]　(1)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B. (2)“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“(－2)2－4m≤0”，即“m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“方程x2－2x＋m＝0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”，故选D. [答案]　(1)B　(2)D 2．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则A＝(A∩B)的充要条件为________；一个充分不必要条件可为________． 解析：A＝(A∩B)⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}． 若A＝∅，则2a＋1>3a－5，解得a<6； 若A≠∅，则A⊆B⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋1≥3，,3a－5≤22，,3a－5≥2a＋1，))解得6≤a≤9. 综上可知，A＝(A∩B)的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 答案：a≤9　6≤a≤9(答案不唯一) 3．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是__________________． 答案：存在一个能被7整除的数不是奇数 三、不等式 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能．解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立． 角度1　通过配凑法求最值 [例 3]　已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D． eq \f(2,3) [解析]　∵0＜x＜1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋(1－x),2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(3,4). 当且仅当x＝1－x，即x＝ eq \f(1,2)时，“等号”成立． 角度2　通过常值代换法求最值 [例 4]　已知2a＋3b－1＝0且a＞0，b＞0，则代数式 eq \f(2,a)＋ eq \f(3,b)的最小值为(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 [解析]　因为2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0，即2a＋3b＝1，所以 eq \f(2,a)＋ eq \f(3,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))(2a＋3b)＝4＋9＋ eq \f(6b,a)＋ eq \f(6a,b)≥13＋2 eq \r(\f(6b,a)·\f(6a,b))＝25，当且仅当 eq \f(6b,a)＝ eq \f(6a,b)，即a＝b＝ eq \f(1,5)时取等号，所以 eq \f(2,a)＋ eq \f(3,b)的最小值为25，故选B. [答案]　B 角度3　通过消元法求最值 [例 5]　已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则s＝ eq \f(1＋z,2xyz)的最小值为________． [解]　由条件得x2＋y2＝1－z2＝(1－z)(1＋z)，则1＋z＝ eq \f(x2＋y2,1－z)，于是s＝ eq \f(1＋z,2xyz)＝ eq \f(x2＋y2,2xyz(1－z))≥ eq \f(2xy,2xyz(1－z))＝ eq \f(1,z(1－z))≥ eq \f(1,\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(z＋(1－z),2)))\s\up12(2))＝4，当且仅当x＝y，且z＝1－z，即z＝ eq \f(1,2)，x＝y＝ eq \f(\r(2),4)时取等号． [答案]　4 4．(1)已知x>0，y>0，xy＝4，求 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值； (2)已知x>0，y>0，x＋2y＝2，求 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值． 解：(1)∵xy＝4，且x>0，y>0， ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)≥2 eq \r(\f(2,xy))＝2 eq \r(\f(1,2))＝ eq \r(2)， 当且仅当x＝2 eq \r(2)，y＝ eq \r(2)时取等号， 即 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为 eq \r(2). (2)∵x>0，y>0，x＋2y＝2， ∴2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝(x＋2y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋ eq \f(4y,x)＋ eq \f(x,y)≥4＋2 eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8， ∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)≥4， 当且仅当 eq \f(4y,x)＝ eq \f(x,y)，即x＝2y＝1时取等号， 即 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为4. 四、一元二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的一元二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． [例 6]　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0. [解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a. 函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以 (1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}； (2)当a＝－1时，原不等式解集为∅； (3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 5．若a＝4时，对任意x≤1，－ eq \f(1,2)x2＋ eq \f(1,2)a(5－a)x＋c＜0恒成立，求实数c的取值范围． 解析：当a＝4时，－ eq \f(1,2)x2＋ eq \f(1,2)a(5－a)x＋c＜0对任意x≤1恒成立， ∴c＜ eq \f(1,2)x2－2x对任意x≤1恒成立， 又当x＝1时， eq \f(1,2)x2－2x取得最小值，为－ eq \f(3,2)， ∴c＜－ eq \f(3,2)，即实数c的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＜－\f(3,2))))). 五、不等式的实际应用 1．不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题． 2．在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模和数学运算素养． [例 7]　某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [解]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－(12－10)×10 000>0，,0<x<1，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6 000x2＋2 000x>0，,0<x<1，)) 解得0<x< eq \f(1,3)，所以投入成本增加的比例x应在0<x< eq \f(1,3)的范围内． $$