第1章 4.1 一元二次函数（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） § 4　一元二次函数与一元二次不等式 §4.1　一元二次函数 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（十一） Part 03 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 二次项系数 常数项 y＝ax2＋bx＋c 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 左 h 上 k 右 |h| 下 |k| 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 上 下 h (h，k) [_h，＋∞) [h，＋∞) k k 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） D B 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） (－1，－3) y＝x2－6x＋5 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课 时 作 业 （十一） 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系． 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的简单性质． 1.通过一元二次函数的学习，培养直观想象的核心素养． 2.借助于求一元二次函数的最值，提升数学运算的核心素养 [自主梳理] 知识点一　一元二次函数及图象变化 [问题1]　在初中已学习过一元二次函数，那么一元二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？ [问题2]　如何由y＝x2的图象得到y＝x2－2x－1的图象？ 答：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作一元二次函数，它的定义域为R. 答：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位． ►知识填空 1．一元二次函数 (1)定义：一般地，把形如__________________(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为__________、一次项系数和______． (2)三种不同形式： ①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0). ③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．一元二次函数的图象变换 (1)一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__平移__个单位长度(h＞0)，再向__平移__个单位长度(k＞0)得到． (2)一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__平移______个单位长度(h＜0)，再向__平移______个单位长度(k＜0)得到． 知识点二　一元二次函数的性质 ►知识填空 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向__，并向上无限延伸 抛物线开口向__，并向下无限延伸 对称轴是x＝__；顶点坐标是__________ 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而减小，在区间_____________上函数值y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上函数值y随x的增大而增大，在区间____________上函数值y随x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝__ 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝__ [自主检测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c是一元二次函数．(　　) (2)函数f(x)＝ax2－ax＋1(a≠0)的对称轴为x＝－ eq \f(1,2).(　　) (3)函数f(x)＝－x2＋x＋1的最小值为 eq \f(5,4).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．下列关于一元二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是(　　) A．开口向下，顶点(1，1) B．开口向上，顶点(1，1) C．开口向下，顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4))) D．开口向上，顶点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,4))) 3．函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A．－1　　　　　　　　B．0 C．3 D．4 4．函数y＝x2＋2x－2的图象的顶点坐标是 ________． 5．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度所得图象对应的函数解析式为________________． 解析：y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故所求顶点坐标为(－1，－3). 解析：将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5. 题型一　一元二次函数图象的画法 [例 1]　画出函数y＝2x2－4x－6的草图． 解：y＝2x2－4x－6 ＝2(x2－2x)－6 ＝2(x2－2x＋1－1)－6 ＝2[(x－1)2－1]－6 ＝2(x－1)2－8. 函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 画法步骤： (1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，画出直线x＝1； (2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如下图所示． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 画一元二次函数的图象重点体现图象的特征“三点一线一开口”： (1)“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点； (2)“一线”是指对称轴这条直线； (3)“一开口”是指抛物线的开口方向．　　 　画出函数y＝x2－4x－12的图象． 解：y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16. 函数图象开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16). 令y＝0，即x2－4x－12＝0， 得x＝－2或x＝6. 故图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(6，0). 图象如下图所示： 题型二　一元二次函数图象的变换 [例 2]　在同一坐标系中作出下列函数的图象，并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象． ①y＝x2；②y＝x2－2；③y＝2x2－4x. 解：(1)列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7 y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如下图所示． (2)y＝2x2－4x＝2(x2－2x) ＝2(x2－2x＋1－1) ＝2(x－1)2－2. 由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下： 法一：先把y＝x2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图象，然后把y＝2x2的图象向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图象，最后把y＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． 法二：先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图象． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 所有一元二次函数的图象均可以由函数y＝x2的图象经过变换得到，变换前，先将一元二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下： y＝x2 eq \o(―――→,\s\up15(横不变),\s\do5(纵变为原来的a倍))y＝ax2 eq \o(―――→,\s\up15(k＞0，上移),\s\do5(k＜0，下移))y＝ax2＋k eq \o(―――→,\s\up15(h＞0，左移),\s\do5(h＜0，右移))y＝a(x＋h)2＋k：当a＜0时，y＝x2 eq \o(―――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－x2 eq \o(―――→,\s\up15(横不变),\s\do5(纵变为原来的|a|倍)) y＝ax2 eq \o(―――→,\s\up15(k＞0，上移),\s\do5(k＜0，下移))y＝ax2＋k eq \o(―――→,\s\up15(h＞0，左移),\s\do5(h＜0，右移))y＝a(x＋h)2＋k. 其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移． 　(1)由y＝－2x2的图象，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图象？ (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？ 解析：(1)把y＝－2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图象． (2)把y＝2x2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图象． 题型三　一元二次函数解析式的求解 [例 3]　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8，求一元二次函数的解析式． 解：法一：由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 法二：∵一元二次函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)， ∴抛物线的对称轴为x＝ eq \f(2＋(－1),2)＝ eq \f(1,2)， 又∵函数最大值为8， ∴y＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8. 将(2，－1)代入，得， a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－1，解得a＝－4. ∴y＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋8＝－4x2＋4x＋7. 故所求一元二次函数的解析式为 y＝－4x2＋4x＋7. eq \a\vs4\al([反思感悟]) 求一元二次函数解析式的步骤 　　 　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式． 解：法一：因为一元二次函数图象的对称轴是x＝－1， 又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2. 因为图象过点A(－3，0)，所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－ eq \f(1,2)或a＝ eq \f(1,2). 故所求二次函数的解析式为y＝－ eq \f(1,2)(x＋1)2＋2 ＝－ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2)或y＝ eq \f(1,2)(x＋1)2－2＝ eq \f(1,2)x2＋x－ eq \f(3,2). 法二：因为二次函数图象的对称轴为x＝－1， 又图象过点A(－3，0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1，0)也在图象上， 所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1). 由题意得顶点坐标为(－1，2)或(－1，－2)， 分别代入上式，解得a＝－ eq \f(1,2)或a＝ eq \f(1,2). 故所求二次函数的解析式为y＝－ eq \f(1,2)(x＋3)(x－1)＝－ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2)或y＝ eq \f(1,2)(x＋3)(x－1)＝ eq \f(1,2)x2＋x－ eq \f(3,2). 题型四　一元二次函数的应用 [例 4]　已知函数y＝ eq \f(1,2)x2－3x－ eq \f(3,4)， (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值； (2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围． 解：(1)对函数右端的表达式配方，得 y＝ eq \f(1,2)(x－3)2－ eq \f(21,4)， 所以函数图象的顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(21,4)))， 对称轴方程为x＝3，最小值为－ eq \f(21,4)，无最大值． (2)由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大， 所以当x＝3时，ymin＝－ eq \f(21,4)， 当x＝1时，ymax＝ eq \f(1,2)×4－ eq \f(21,4)＝－ eq \f(13,4)， 所以函数值的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(21,4)，－\f(13,4)))． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 解析式、图象、性质三者各有特点又紧密联系，应用时在三者间灵活转化可使问题更易解决． 1．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________． 答案：10　－2 2．已知函数y＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值． 解：y＝a(x＋1)2＋1－a. 当a＝0时，函数在区间[－1，2]上的值不变，恒为常数1，不符合题意，舍去； 当a>0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而增大，最大值为8a＋1＝4，解得a＝ eq \f(3,8)； 当a<0时，函数值在区间[－1，2]上随x的增大而减小，最大值为1－a＝4，解得a＝－3. 综上，a的值为－3或 eq \f(3,8). [课堂小结] 1.画一元二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． 2．若求一元二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论： (1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； (2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域． $$