第1章 §2.1 第1课时 必要条件与充分条件（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

　第一章 预备知识 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） §2　常用逻辑用语 §2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 目录 contents Part 01 课前预习 课堂互动 Part 02 课时作业（五） Part 03 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 充分 必要 充分 必要 结论成立 结论成立 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 课时 作业 （五） 点击进入word 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 谢谢观看 　第一章 预备知识 数学 必修第一册（BS） 学习目标 素养要求 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3.结合具体命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法． 1.通过必要条件与充分条件的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助充分条件与必要条件的应用，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　充分条件与必要条件 [问题1]　观察命题： (1)若整数a是素数，则a是奇数； (2)若两个三角形全等，则它们的面积相等． 上述命题的形式是怎样的？ 答：“若……，则……”的形式． 答：不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． [问题2]　在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ 答：条件是两个三角形全等；结论是两个三角形面积相等． [问题3]　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ [问题4]　如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”？ 答：“充分”即条件充分，有充足的理由；“必要”即必须要有，缺之不可． ►知识填空 充分条件与必要条件 命题真假 若“p，则q” 为真命题 若“p，则q” 为假命题 推出关系 p⇒q 续表 条件关系 p是q的 条件， q是p的 条件 p不是q的 条件， q不是p的 条件． 定理关系 判定定理给出了 的充分条件，性质定理给出了 的必要条件． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (2)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (3)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．使x＞5成立的一个充分条件是(　　) A．x＞6　　　　　　　　　B．x＞0 C．x＞3 D．x＜3 答案：A 3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析：选A　∵a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0， ∴a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件． 4．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 答案：必要 题型一　充分条件的判断 [例 1]　(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3　　　　　　　　B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R. ②若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. ③在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC. ④已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解析：(1)选C　因为x＞4⇒x＞3.14，所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4. (2)①由于QR，所以p⇒q. 所以p是q的充分条件． ②由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3.因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． ③由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． ④因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． eq \a\vs4\al([反思感悟]) 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： 　　 (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若ab＞0，则a＞0，b＞0. (2)若两个三角形相似，则两个三角形全等． (3)若x为无理数，则x2为无理数． (4)若x＝1，则x2－4x＋3＝0. 解析：(1)ab＞0⇒a＞0，b＞0或a＜0，b＜0⇒/ a＞0，b＞0，因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (2)因为两个三角形相似不一定全等． 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (3)若x为无理数，则x2不一定为无理数．例如 eq \r(2)为无理数，则( eq \r(2))2＝2不为无理数：因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (4)因为x＝1⇒x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0，所以x＝1是x2－4x＋3＝0的充分条件，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 [例 2]　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 解析：(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． eq \a\vs4\al([反思感悟]) (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可以利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．　　 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a＋5是无理数，则a是无理数． (2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． (3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a. (4)若a和b都是偶数，则ab是偶数． 解析：(1)若a＋5是无理数，则a＋5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数，所以a是无理数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)全等三角形面积相等，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)若(x－a) (x－b) ＝0，则x＝a或x＝b，所以p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (4)因为两个偶数的乘积仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 题型三　充分条件与必要条件的应用 [例 3]　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：由p：3a＜x＜a， 即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3， 即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a＜0.))⇒－ eq \f(2,3)≤a＜0，所以a的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0)). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 充分条件与必要条件的应用及求解步骤 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　 1．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________． 解析：因为A是B的充分条件， 所以A⊆B， 又A＝{x|a＜x＜a＋2}， B＝{x|x＜－1或x＞3}． 因此a＋2≤－1或a≥3， 所以实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞). 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 2．(变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解析：p：a＜x＜3a， 即集合A＝{x|a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a≥3，,a≤－2，⇒a∈∅.,a＞0.)) [课堂小结] 充分条件与必要条件的判断方法 1．定义法 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛． 2．集合法 从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分条件但不是必要条件． (2)若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要条件但不是充分条件． $$