2．1　圆 同步练 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2．1　圆 第1课时　圆 的 概 念 1. (1) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径； (2) 圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 2. 已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则 (1) 点P在⊙O上⇔d＝r；(2) 点P在⊙O外⇔d>r；(3) 点P在⊙O内⇔d<r. 建议用时：20分钟 1 (2024南京鼓楼月考)在△ABC中，AB＝AC，若以点A为圆心，以AB为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系为(　　) A. 点C在⊙A内 B. 点C在⊙A上 C. 点C在⊙A外 D. 点C在⊙A内或⊙A外 2 (2024南京江宁月考)若⊙O的半径为3 cm，点A不在⊙O内，则OA的长(　　) A. 大于3 cm B. 不小于3 cm C. 大于6 cm D. 不小于6 cm 3 在平面直角坐标系中，圆心O为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P(3，4)与⊙O的位置关系为(　　) A. 点P在⊙O上　 B. 点P在⊙O外　 C. 点P在⊙O内　 D. 无法确定 4 早在2 000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜(这里读yuan)，一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是________，定长是________． 5 (2024无锡江阴月考)若⊙O的半径为4 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，则点P与⊙O的位置关系是________． 6 (2024盐城射阳月考)到点O的距离等于7 cm的点的集合是________． 7 (2024扬州江都月考)已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程x2－4x－5＝0的一个根，则点P与⊙O的位置关系是________． 8 作线段AB＝3 cm，按下列要求作图： (1) 到点A的距离等于2 cm的点的集合； (2) 到点B的距离等于1.5 cm的点的集合； (3) 到点A的距离大于2 cm且到点B的距离小于1.5 cm的点的集合．(用阴影部分表示) 建议用时：25＋5分钟 9 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是(　　) A. 8＜r＜10　　 B. 6＜r＜8　　 C. 6＜r＜10　　 D. 2＜r＜14 (第9题) (第11题) (第12题) 10 (2024常州武进月考)已知P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为__________． 11 (2024无锡江阴月考)如图，原点右边7个单位长度处有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过________s，点P在⊙O上． 12 (2024连云港连云月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________． 13 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接BD.求证：A，E，C，F四点在同一个圆上． 14 (2024连云港灌云月考)如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，C为坐标平面内一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值． 第2课时　与圆有关的概念 1. (1) 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，圆上任意两点间的部分叫做圆弧； (2) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； (3) 顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够互相重合的两个圆叫做等圆；能够互相重合的弧叫做等弧． 2. 同圆或等圆的半径相等． 建议用时：20分钟 1 (2024无锡梁溪期中)下列说法中，正确的是(　　) A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 2 如图，在⊙O中，点A，O，D以及点E，D，C分别在同一直线上，则图中弦的条数为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (第2题) (第3题) (第4题) (第6题) 3 如图，图中的直径是________，非直径的弦有________；图中以A为端点的弧中，优弧有________，劣弧有________． 4 (2024南京栖霞月考)如图，AB是⊙O的直径，∠C＝20°，则∠BOC的度数是________． 5 在平面直角坐标系xOy中，以点(4，0)为圆心，5为半径画圆，则圆与y轴的交点坐标为________． 6 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝4，BD＝2，则直径AB的长为________． 7 如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数． 8 如图，在⊙O中，AC＝BD，求证：∠1＝∠2. 9 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，求∠OAC的度数． 10 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF，则AC与BD相等吗？为什么？ 建议用时：25＋5分钟 11 (2024淮安月考)如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，当点P在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值(　　) A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 不能确定 (第11题) (第12题) (第13题) (第14题) 12 (2024南京栖霞月考)如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上的动点(点C不与点A，B重合)，CH⊥AB，垂足为H，M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是(　　) A. 3　　 B. 4　　 C. 5　　 D. 6 13 (2024苏州常熟期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________． 14 如图，过A，C，D三点的圆的圆心为点E，过B，F，E三点的圆的圆心为点D，如果∠A＝72°，那么∠θ＝________． 15 如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交BA的延长线，AC于点E，F，连接EF并延长交BC于点G，EG⊥BC.求证：AB＝AC. 16 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD，若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD，AC的长． 17 如图，在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM，OP上，且∠POM＝45°，求正方形ABCD的边长. 18 在⊙O中，直径AB＝10，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1) 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2) 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长度的最大值． 图1 图2 2．1　圆 第1课时　圆 的 概 念 1. B　2. B　3. A　4. 圆心　半径　5. 点P在圆外　6. 以点O为圆心，半径为7 cm的圆　7. 点P在⊙O内 8. 略　9. A　10. 2或3　11. 3或4　12. 6＜r＜10 13. 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，FO. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，所以AO＝CO＝AC. 因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEC＝∠AFC＝90°， 所以EO＝AC，FO＝AC，所以AO＝CO＝EO＝FO， 所以A，E，C，F四点在以点O为圆心，AC长为半径的圆上． 14. 解：如图，因为C为坐标平面内一点，BC＝1， 所以点C在⊙B上，且半径为1. 在x轴负半轴上取一点D，令OD＝OA＝2，连接CD， 因为AM＝CM，OD＝OA， 所以OM是△ACD的中位线， 所以OM＝CD， 故当OM最大时，CD最大，而当D，B，C三点共线，点C在DB的延长线上时，CD最大． 因为OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， 所以BD＝2， 所以CD＝2＋1， 所以OM＝CD＝＋，即OM的最大值为＋. 第2课时　与圆有关的概念 1. D　2. B　3. AB　CD，EF　，，，　，，，　4. 40°　5. (0，3)，(0，－3)　6. 10 7. 解：因为BD＝OD，∠B＝38°， 所以∠DOB＝∠B＝38°， 所以∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2×38°＝76°. 因为OA＝OD， 所以∠A＝∠ADO＝76°， 所以∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－76°－76°＝28°. 8. 证明：因为在⊙O中，AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD， 所以△OAC≌△OBD(SSS)， 所以∠AOC＝∠BOD， 所以∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC， 所以∠1＝∠2. 9. 解：因为OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝40°， 所以∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝100°， 所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°. 因为OA＝OC，所以∠OAC＝＝15°. 10. 解：AC与BD相等．理由如下： 如图，连接OC，OD. 因为OA＝OB，AE＝BF， 所以OE＝OF. 因为CE⊥AB，DF⊥AB， 所以∠OEC＝∠OFD＝90°， 在Rt△OEC和Rt△OFD中， 所以Rt△OEC≌Rt△OFD(HL)， 所以∠COE＝∠DOF. 在△OAC和△OBD中， 所以△OAC≌△OBD， 所以AC＝BD. 11. C　12. A　13. 40°　14. 12° 15. 证明：因为AE＝AF， 所以∠AEF＝∠AFE. 因为∠AFE＝∠CFG， 所以∠AEF＝∠CFG. 因为EG⊥BC， 所以∠AEF＋∠B＝90°，∠C＋∠CFG＝90°， 所以∠B＝∠C， 所以AB＝AC. 16. 解：如图，连接OC. 因为AB＝5 cm， 所以OC＝OA＝AB＝ cm， 在Rt△CDO中，由勾股定理，得DO＝＝(cm)， 所以AD＝AO－DO＝－＝1(cm)， 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝＝(cm)， 故AD的长为1 cm，AC的长为 cm. 17. 解：连接AO. 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD， 所以∠DCO＝90°. 因为∠POM＝45°，所以∠CDO＝45°， 所以CD＝CO， 所以BO＝BC＋CO＝BC＋CD，所以BO＝2AB. 因为MN＝10，所以AO＝5. 在Rt△ABO中，AB2＋BO2＝AO2， 即AB2＋(2AB)2＝52，解得AB＝， 所以正方形ABCD的边长为 . 18. 解：(1) 如图1，连接OQ. 因为PQ∥AB，OP⊥PQ， 所以OP⊥AB. 在Rt△OBP中，因为∠ABC＝30°，所以BP＝2OP， 所以OP2＋OB2＝BP2＝4OP2.又OB＝5， 所以OP＝. 在Rt△OPQ中，因为OP＝，OQ＝5， 所以PQ＝＝. (2) 如图2，连接OQ. 当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC， 则OP＝OB＝， 所以PQ＝＝＝， 所以PQ长度的最大值为. 图1 图2 学科网（北京）股份有限公司 $$