期末检测卷(二)（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

期末检测卷(二) 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．设集合M＝{m∈Z|m≤－3或m≥2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则(∁ZM)∩N等于(　　) A．{0，1}　　　　　 B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} 【答案】　B 【解析】　由已知，得∁ZM＝{－2，－1，0}，N＝{－1，0，1，2，3}， 所以(∁ZM)∩M＝{－1，0，1}． 2．函数y＝的定义域是(　　) A．[－1，2) B．(1，2) C．[－1，1)∪(1，2) D．(2，＋∞) 【答案】　C 【解析】　由解得－1≤x＜1或1<x<2. 所以函数y＝的定义域是[－1，1]∪(1，2)，故选C. 3．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，) 【答案】　D 【解析】　方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点． ①当0<a<1时，如图(1)， ∴0<2a<1，即0<a<. ②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求． 综上，a的取值范围为0<a<. 4．设f(x)＝，则不等式f(x)<x2的解集是(　　) A．(2，＋∞)∪(－∞，0] B．R C．[0，2) D．(－∞，0) 【答案】　A 【解析】　当x>0时，f(x)＝x＋2，代入不等式得x＋2<x2，即(x－2)(x＋1)>0，解得x>2，x<－1，所以原不等式的解集为(2，＋∞)； 当x≤0时，f(x)＝x－2，代入不等式得：x－2<x2， 解得x∈R，所以原不等式的解集为(－∞，0]， 综上原不等式的解集为(2，＋∞)∪(－∞，0]． 5．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为(　　) A．－e B．－ C．e D． 【答案】　D 【解析】　∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，∴函数f(x)＝ln x， ∵函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称， ∴函数g(x)＝－ln x， ∵g(a)＝1，即－ln a＝1， ∴a＝. 6．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0.若命题p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　若a＝0，则不等式等价为2x＋3>0，对于∀x∈R不成立， 若a≠0，则解得a>， ∴命题p为真命题的a的取值范围为， ∴使命题p为假命题的a的范围是.故选C. 7．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－1<m<4} B．{m|m<－1或m>4} C．{m|－4<m<1} D．{m|m<0或m>3} 【答案】　B 【解析】　因为不等式x＋<m2－3m有解， 所以(x＋)min<m2－3m， 因为x>0，y>0，且＋＝1， 所以x＋＝(x＋)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号， 所以(x＋)min＝4，故m2－3m>4， 即(m＋1)(m－4)>0， 解得m<－1或m>4， 所以实数m的取值范围是{m|m>4或m<－1.} 8．已知f(x)＝loga|x＋b|是偶函数，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为(　　) A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1) C．f(b－2)<f(a＋1) D．不能确定 【答案】　C 【解析】　∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|. 当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)； 当0<a<1时， 函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)． 综上可知f(b－2)<f(a＋1)． 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分) 9．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题不正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点 【答案】　ABC 【解析】　由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0， 又∵f(0)>0，∴函数f(x)在(0，4)上有零点．A、B、C不一定成立，D正确． 10．已知函数y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，则b－a的值可能是(　　) A. B． C．π D． 【答案】　BCD 【解析】　因为y＝2sin x的定义域为[a，b]，值域为[－2，1]，所以x∈[a，b]时，－1≤sin x≤，故sin x能取得最小值－1，最大值只能取到.当a＝－，b＝时，b－a最小，为；当a＝－π，b＝时，b－a最大，为，即≤b－a≤，故b－a一定取不到，故选BCD. 11．给出下列命题正确的是(　　) A．tan 1<－tan 2 B．∀x∈(2，＋∞)，都有x2>2x C．“a＝”是函数“y＝cos22ax－sin22ax的最小正周期为π”的充要条件 D．命题p：∃x0∈R，f(x0)＝ax＋x0＋a＝0是假命题，则a∈(－∞，)∪(，＋∞) 【答案】　AD 【解析】　A正确，－tan 2＝tan(π－2)，而0<1<π－2<，所以tan 1<－tan 2；B错，当x＝4时，42＝24，故不等式不成立；C错，y＝cos22ax－sin22ax＝cos 4ax，当a＝时，y＝cos 2x，其最小正周期为＝π；当a＝－时，y＝cos(－2x)＝cos 2x，其最小正周期为π，故说法不正确；D正确，因为p为假命题，所以綈p为真命题，即不存在x0∈R，使f(x0)＝0，故Δ＝1－4a2<0，且a≠0，解得a>或a<－.故AD正确． 12．下列结论正确的是(　　) A．函数y＝是偶函数 B．当x∈[0，]时，函数f(x)＝2cos(2x＋)的值域是[－2，] C．若扇形的周长为15 cm，圆心角为rad，则该扇形的弧长为6 cm D．已知定义域为R的函数f(x)＝－，当且仅当2kπ<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)>0成立 【答案】　BD 【解析】　函数y＝是非奇非偶函数，A不正确；∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，∴－1≤cos(2x＋)≤，－2≤f(x)≤，B正确；设半径为r cm，弧长为l cm，则解得故C不正确； f(x)＝ 由cos x>0，得＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z)， 由sin x>0，得2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． ∴当且仅当2kπ<x<2kπ＋(k∈Z)时， f(x)>0成立，D正确． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知函数y＝x＋(x>1)，函数的最小值等于 ． 【答案】　5 【解析】　y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝5， 当且仅当x－1＝，即x＝3时，取等号． 14．已知二次函数f(x)＝x2＋mx－3的两个零点为1和n，则n＝ ；若f(a)≤f(3)，则实数a的取值范围是 ．(本小题第1空2分，第2空3分) 【答案】　－3　[－5，3] 【解析】　由题意，得 ∴ ∴f(x)＝x2＋2x－3， ∴f(3)＝32＋2×3－3＝12. ∵f(a)≤f(3)，∴a2＋2a－3≤12，解得－5≤a≤3. 15．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈(，π)，则cos α＝ ． 【答案】　 【解析】　因为θ∈(，π)，所以cos θ<0， 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝＝. 16．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是 ． 【答案】　6 【解析】　在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2时取得最大值，最大值为6. 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)设全集U＝R，集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}． (1)求A∪B，(∁UA)∩B； (2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，且B∪C＝C，求a的取值范围． 【解】　(1)全集U＝R，集合A＝{x|2≤x＜4}，由3x－7≥8－2x，得x≥3，从而B＝{x|x≥3}，∴A∪B＝{x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}＝{x|x≥2}，(∁UA)∩B＝{x|x<2或x≥4}∩{x|x≥3}＝{x|x≥4}． (2)集合C＝{x|2x＋a>0}，化简得C＝，∵B∪C＝C，∴B⊆C，由(1)知B＝{x|x≥3}， 从而－<3，解得a>－6， ∴a的取值范围是(－6，＋∞)． 18．(12分)已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[1，3]，求实数m的值； (2)若綈q是p的必要条件，求实数m的取值范围． 【解】　(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}， B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}， ∵A∩B＝[1，3]，∴m＝4. (2)∵綈q是p的必要条件 ∴p是綈q的充分条件， ∴A⊆∁RB，∴m>6或m<－4. 19．(12分)已知函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x＋1. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)． 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]． 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值1； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－. 20．(12分)已知函数f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值； (2)若不等式f(x)－x－a≥0对x∈(－∞，0]恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　(1)因为y＝f(x)为偶函数，且定义域为R， 所以∀x∈R，f(－x)＝f(x)， 即log3(3－x＋1)－kx＝log3(3x＋1)＋kx 对∀x∈R恒成立． 于是2kx＝log3(3－x＋1)－log3(3x＋1) ＝log3＝log33－x＝－x恒成立， 而x不恒为零，所以k＝－. (2)因为不等式f(x)－x－a≥0在区间(－∞，0]上恒成立， 即a≤log3(3x＋1)－x在区间(－∞，0]上恒成立， 令g(x)＝log3(3x＋1)－x＝log3(1＋)，x∈(－∞，0]， 因为1＋≥2， 所以g(x)＝log3(1＋)≥log32， 所以a≤log32， 所以a的取值范围是(－∞，log32]． 21．(12分)某产品原来的成本为1 000元/本，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为y(单位：万元)．(纯利润＝每件的利润×年销售量－投入的成本) (1)求y的表达式； (2)求y的最大值，以及y取得最大值时x的值． 【解】　(1)依题意，产品升级后，每件产品的成本为(1 000－)元，每件产品的利润为(200＋)元，年销售量为(1－)万件， 故y＝(200＋)(1－)－x＝198.5－－(2≤x≤)． (2)y＝198.5－－≤198.5－2×＝178.5， 当且仅当＝，即x＝40时取得等号，即y的最大值是178.5，当y取得最大值时x的值为40. 22．(12分)已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)当x∈[－3，3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由． 【解】　(1)f(x)为奇函数． ∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， ∴f(0)＝f(0)＋f(0)． ∴f(0)＝0. 又0＝x－x， ∴f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 即f(x)＋f(－x)＝0⇒f(－x)＝－f(x)． ∴函数f(x)为奇函数． (2)设x1<x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 知f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)， ∵x1<x2，∴x2－x1>0. 又当x>0时，f(x)<0， ∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)<0. ∴f(x2)<f(x1)，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)是定义域上的减函数， 当x∈[－3，3]时，函数f(x)有最值． 当x＝－3时，函数有最大值f(－3)； 当x＝3时，函数有最小值f(3)． f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6. ∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$