期末检测卷(一)（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

期末检测卷(一) 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3} C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3} 【答案】　A 【解析】　在数轴上表示出集合A，B，如图所示． 由图知A∩B＝{x|－2<x<－1}． 2．若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　) A.>　　　　B.> C．|a|>|b| D．a2>b2 【答案】　A 【解析】　取a＝－2，b＝－1.则>不成立． 3．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】　C 【解析】　因为x>0，y>0，x＋2y＝2， 所以x＋2y≥2，即2≥2， xy≤， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立． 所以xy有最大值，且最大值为. 4．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　A 【解析】　因为3sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，所以cos 2θ＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ＝＝. 5．设函数f(x)＝则f(－3)＋f(log23)等于(　　) A. B． C. D．10 【答案】　B 【解析】　根据题意，函数f(x)＝ f(－3)＝log24＝2，f(log23)＝2log29－1＝， 则f(－3)＋f(log23)＝2＋＝. 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示)．当截取的矩形铁片面积最大时，矩形铁片的两边长x，y应为(　　) A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 【答案】　A 【解析】　结合图形，可得＝，得y＝24－x(0<x≤20)，矩形铁片的面积S＝xy＝x(24－)＝－＋24x(0＜x≤20)，所以当x＝－＝15时，S最大，此时y＝24－×15＝12，故选A. 7．若a>0且a≠1，则“ax>ay”是“loga|x|>loga|y|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　D 【解析】　当a>1时，因为ax>ay，所以x>y，但是不能推出|x|>|y|，所以不能推出loga|x|>loga|y|，所以“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的充分条件，当0<a<1时，理由同上，所以“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的充分条件，故“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的充分条件．当a>1时，因为loga|x|>loga|y|，所以|x|>|y|，但是不能推出x>y，所以不能推出ax>ay，所以“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的必要条件，当0<a<1时，理由同上，所以“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的必要条件，故“ax>ay”不是“loga|x|>loga|y|”的必要条件．所以“ax>ay”是“loga|x|>loga|y|”的既不充分也不必要条件，故选D. 8．若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在[2，4]上的最大值为4，且函数g(x)＝(1－m)ax在R上是减函数，则实数m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 【答案】　A 【解析】　当a>1时，函数f(x)＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4＝4，得a＝，满足题意；当0<a<1时，函数f(x)＝logax在[2，4]上单调递减，所以loga2＝4，得a＝2，不合题意．故a>1，函数y＝ax在R上单调递增．若函数g(x)＝(1－m)ax在R上是减函数，则1－m<0，解得m>1.故选A. 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分) 9．下列结论正确的是(　　) A．{1}{x|x≤5} B．不等式>ax＋的解集为(4，36)，则a＝ C．命题“∀x<－3，x2>9”的否定是“∃x<－3，x2≤9” D．若a>0，b>0，则(a＋b)(＋)≥4 【答案】　ABCD 【解析】　A对，∵1<5，∴1∈{x|x≤5}，∴{1}⊆{x|x≤5}．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}{x|x≤5}；B对，设＝t，则原不等式可转化为at2－t＋<0，由题可得a>0，且2与6是方程at2－t＋＝0的两根，由此可得a＝；C对，命题“∀x<－3，x2>9”是全称命题，则命题的否定是“∃x<－3，x2≤9”；D对． 10．将函数y＝sin(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．g(x)是奇函数 B．x＝是g(x)图象的一条对称轴 C．g(x)的图象关于点(3π，0)对称 D．2g(0)＝1 【答案】　ACD 【解析】　将函数y＝sin(x－)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得y＝sin(－)的图象，再向左平移个单位长度得g(x)＝sin(－)＝sin的图象，所以A正确；因为g()≠±1，所以B错；因为g(3π)＝sin π＝0，所以C正确；又g(0)＝0，所以2g(0)＝1，所以D正确．综上，ACD正确． 11．已知0<a<b<1<c，则下列不等式不成立的是(　　) A．ac<bc B．cb<ca C．logac>logbc D．sin a>sin b 【答案】　BD 【解析】　取a＝，b＝，c＝2，则()2<()2，A成立；2>2，B不成立；log2＝－，log2＝－1，∴log2>log2，C成立；∵0<a<b<1<，∴sin a<sin b，D不成立，故不等式不成立的有BD. 12．已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2，2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t) 【答案】　AC 【解析】　在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误．故选AC. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)＝则f(f(2))＝ ． 【答案】　2 【解析】　f(2)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，∴f(f(2))＝f(－1)＝2. 14．已知关于x的不等式ax2－bx－c>0的解集是(－2，1)，则不等式cx2－bx－a>0的解集是 ． 【答案】　 【解析】　由ax2－bx－c>0的解集是(－2，1)可知－2和1是方程ax2－bx－c＝0的两根且a<0， ∴⇒ cx2－bx－a>0⇔2ax2＋ax－a>0，a<0⇒2x2＋x－1<0⇒x∈(－1，)． 15．某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝ ，经过5 h，1个病毒能繁殖为 个．(本题第1空得2分，第2空得3分) 【答案】　2ln 2　1 024 【解析】　当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek， 解得k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2， 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 16．函数f(x)＝sin 2x－(cos2x－sin2x)的图象为C，如下结论正确的有 ． ①f(x)的最小正周期为π；②对任意的x∈R，都有f(x＋)＋f(－x)＝0；③f(x)在(－，)上是增函数；④由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C. 【答案】　①②③ 【解析】　f(x)＝sin 2x－(cos2x－sin2x) ＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)， ①f(x)的最小正周期为＝π，故①正确； ②f()＝2sin(2×－)＝2sin 0＝0， 即函数关于(，0)对称， 即对任意的x∈R，都有f(x＋)＋f(－x)＝0成立，故②正确； ③x∈(－，)时，2x∈(－，)，2x－∈(－，)，此时函数为增函数，即f(x)在(－，)上是增函数，故③正确； ④由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2sin2(x－)＝2sin(2x－)，故④错误， 故正确的是①②③. 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}． (1)分别求A∩B，(∁RB)∪A； (2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值集合． 【解】　(1)因为3≤3x≤27， 即31≤3x≤33， 所以1≤x≤3，所以A＝{x|1≤x≤3}， 因为log2x>1，即log2x>log22， 所以x>2， 所以B＝{x|x>2}， 所以A∩B＝{x|2<x≤3}．∁RB＝{x|x≤2}， 所以(∁RB)∪A＝{x|x≤3}． (2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，若C⊆A，则 ①当C为空集时，a≤1. ②当C为非空集合时，可得1<a≤3. 综上所述，a的取值集合为{a|a≤3}． 18．(12分)已知角α为第四象限角，且tan α＝－. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求的值． 【解】　(1)∵角α为第四象限角，且tan α＝－， ∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－. (2)原式＝＝＝＝＝－10. 19．(12分)已知f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象，并写出单调区间； (2)若函数y＝f(x)－m有两个零点，求实数m的取值范围． 【解】　(1)画出函数f(x)的图象，如图所示： 由图象得f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增． (2)若函数y＝f(x)－m有两个零点， 则f(x)和y＝m有2个交点， 结合图象得1<m≤2. 20．(12分)已知函数f(x)＝x2－ax＋3. (1)若f(x)≤－3的解集为[b，3]，求实数a，b的值； (2)当x∈[，＋∞)时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 【解】　(1)因为f(x)≤－3即x2－ax＋6≤0的解集为[b，3]， 所以b，3是一元二次方程x2－ax＋6＝0的两根， 所以解得 (2)当x∈[，＋∞)时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立， 即a≤2x＋在x∈[，＋∞)时恒成立， 令g(x)＝2x＋，x≥， 则a≤g(x)min， ∵2x＋≥2＝4. 当且仅当x＝1时取等号． 故a≤4. 21．(12分)函数f(x)＝cos(πx＋φ)(0<φ<)的部分图象如图． (1)求出φ及图中x0的值． (2)设g(x)＝f(x)＋f(x＋)，求函数g(x)在区间[－，]上的最大值和最小值． 【解】　(1)∵图象过点(0，)， ∴cos φ＝， 又0<φ<，∴φ＝， 由cos(πx0＋)＝， 得x0＝2k或x0＝－＋2k，k∈Z， 又f(x)的周期为2，结合图象知0<x0<2，∴x0＝. (2)∵f(x＋)＝cos[π(x＋)＋]＝cos(πx＋)＝－sin πx， ∴g(x)＝f(x)＋f(x＋)＝cos(πx＋)－sin πx ＝cos πxcos－sin πxsin－sin πx ＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx ＝cos(πx＋)， ∵x∈[－，]， ∴－≤πx＋≤， ∴当πx＋＝0，即x＝－时，g(x)取得最大值； 当πx＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－. 22．(12分)已知定义在R上的函数f(x)＝(a∈R)是奇函数，函数g(x)＝的定义域为(－1，＋∞)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝在(－1，＋∞)上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围； (3)在(2)的条件下，若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－1，1)上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围． 【解】　(1)因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即＝－，得a＝0. (2)因为g(x)＝在(－1，＋∞)上递减，所以任给实数x1，x2， 当－1<x1<x2时，g(x1)>g(x2)， 所以g(x1)－g(x2)＝－＝>0， 所以m<0. 即实数m的取值范围为(－∞，0)． (3)由a＝0得f(x)＝， 令h(x)＝0，即＋＝0， 化简得x(mx2＋x＋m＋1)＝0， 所以x＝0或mx2＋x＋m＋1＝0， 若0是方程mx2＋x＋m＋1＝0的根，则m＝－1， 此时方程mx2＋x＋m＋1＝0的另一根为1，不符合题意． 所以函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－1，1)上有且仅有两个不同的零点， 等价于方程mx2＋x＋m＋1＝0(※)在区间(－1，1)上有且仅有一个非零的实根． ①当Δ＝12－4m(m＋1)＝0时，得m＝ 若m＝，则方程(※)的根为 x＝－＝－＝－1∈(－1，1)，符合题意； 若m＝，则与(2)条件下m<0矛盾，不符合题意， 所以m＝. ②当Δ>0时，令φ(x)＝mx2＋x＋m＋1， 由得－1<m<0， 综上所述，所求实数m的取值范围是(－1，0)∪. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$