章末检测卷(五)三角函数（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

章末检测卷(五) 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．计算cos(－780°)的值是(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C. D． 【答案】　C 【解析】　cos(－780°)＝cos 780°＝cos(360°×2＋60°)＝cos 60°＝，故选C. 2．已知sin(α－)＝，则cos(＋α)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　D 【解析】　cos(＋α)＝sin[－(＋α)]＝sin(－α) ＝－sin(α－)＝－. 3．cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　) A. B． C. D．1＋ 【答案】　C 【解析】　∵cos 75°＝sin 15°， ∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋×＝. 4．已知tan α＝3，则sin αcos α＝(　　) A. B． C. D． 【答案】　A 【解析】　∵tan α＝3，∴sin αcos α＝＝＝. 5．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　C 【解析】　设扇形的半径为r，中心角为α， 根据扇形面积公式S＝lr得6＝×6×r，所以r＝2， 所以α＝＝＝3. 6．函数f(x)＝3cos x－sin x的图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 【答案】　A 【解析】　∵f(x)＝3cos x－sin x＝2(cos x－·sin x) ＝2cos(x＋)， ∴函数的对称轴方程为x＋＝kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， ∴当k＝1时，x＝是其中的一条对称轴方程．故选A. 7．已知cos(α＋)＝，－<α<0，则sin(α＋)＋sin α等于(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　A 【解析】　sin(α＋)＋sin α＝·sin α＋cos α＝sin(α＋)＝sin(α＋－)＝－cos(α＋)＝－×＝－. 8．若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于(　　) A．0 B．± C．0或 D．0或± 【答案】　D 【解析】　由cos 2θ＋cos θ＝0，得2cos2θ－1＋cos θ＝0， 所以cos θ＝－1或. 当cos θ＝－1时，有sin θ＝0； 当cos θ＝时， 有sin θ＝±. 于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－. 9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为(　　) A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋) C．y＝2sin(－) D．y＝2sin(2x－) 【答案】　A 【解析】　由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点(－，2)和点(，－2)，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将(－，2)代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， 当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin(2x＋)，故选A. 10．已知tan α和tan(－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是(　　) A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝a＋b D．c＝ab 【答案】　C 【解析】　由根与系数的关系得：tan α＋tan(－α)＝－， tan αtan(－α)＝， tan[α＋(－α)]＝＝＝1， 得c＝a＋b. 11．(多选)下列式子正确的是(　　) A．sin 5°＝± B．tan＝ C．由cos＝±知，无论α为何角，cos的值必一正一负 D．tan(3α＋)＝ 【答案】　BD 【解析】　选项A，sin 5°＝，A不正确；选项B，由半角公式知B正确；选项C，当－＋2kπ<<＋2kπ(k∈Z)时，cos为正，当＋2kπ<<＋2kπ(k∈Z)时，cos为负，C不正确；选项D，tan(3α＋)＝＝，D正确． 12．(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x，下列命题正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)在区间(0，)上为增函数 C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 【答案】　BC 【解析】　f(x)＝sin 2x－＝sin(2x－)－，显然A错；x∈(0，)时，2x－∈(－，0)，函数f(x)为增函数，故B正确；令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；f(x)＝·sin 2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin[2(x－)]＝sin(2x－)的图象，故D错． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知0<x<，cos x＝，则tan x＝ ． 【答案】　 【解析】　∵0<x<，cos x＝，∴sin x＝，∴tan x＝. 14．设α为钝角，且3sin 2α＝cos α，则sin α＝ ． 【答案】　 【解析】　因为α为钝角，所以sin α>0，cos α<0，由3sin 2α＝cos α，可得6sin αcos α＝cos α，所以sin α＝. 15．已知tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝ ． 【答案】　 【解析】　∵tan α＝，tan(α－β)＝，则tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝. 16．给出下列命题： ①函数y＝cos(x＋)是奇函数； ②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是； ④x＝是函数y＝sin(2x＋π)的一条对称轴． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】　①④ 【解析】　①函数y＝cos(x＋)＝－sin x是奇函数，正确； ②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°， 则tan α＝tan β，不正确； ③y＝2sinx在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2，不正确； ④sin(2×＋)＝sin＝－1.正确． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知f(α)＝. (1)若α＝－，求f(α)的值； (2)若α为第二象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值． 【解】　(1)∵f(α)＝ ＝＝cos α， ∴f(－)＝cos(－)＝cos＝. (2)∵cos(α－)＝，∴sin α＝. ∵α为第二象限角， ∴f(α)＝cos α＝－＝－. 18．(12分)设函数f(x)＝sin x＋sin(x＋)． (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值时x的集合； (2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到． 【解】　(1)f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， ∴当x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－，此时x的取值集合为. (2)先由y＝sin x的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y＝sin x的图象，再由y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位，得到y＝f(x)的图象． 19．(12分)已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 【解】　f(x)＝sin(x－)＋cos(x－) ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cos x， (1)由f(α)＝，得sin α＝， 又α是第一象限角，所以cos α>0. 从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x， 即sin x＋cos x≥1. 于是sin(x＋)≥. 从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为 . 20．(12分)已知函数f(x)＝a(cos2x＋sin xcos x)＋b. (1)当a>0时，求f(x)的单调递增区间； (2)当a<0且x∈[0，]时，f(x)的值域是[3，4]，求a，b的值． 【解】　f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b ＝sin(2x＋)＋＋b. (1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈[kπ－，kπ＋]，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)0≤x≤，≤2x＋≤， －≤sin(2x＋)≤1， f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4， ∴a＝2－2，b＝4. 21．(12分)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且满足sin2(A＋C)＝sin Bcos B，cos(C－A)＝－2cos 2A. (1)试判断△ABC的形状； (2)已知函数f(x)＝sin x－cos x(x∈R)，求f(A＋45°)的值． 【解】　(1)∵sin2(A＋C)＝sin Bcos B， ∴sin2B＝sin Bcos B， ∵sin B≠0，∴sin B＝cos B， ∴tan B＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°， 又cos(C－A)＝－2cos 2A， 得cos(120°－2A)＝－2cos 2A， 化简得sin 2A＝－cos 2A， 解得tan 2A＝－， 又0°<A<120°，∴0°<2A<240°， ∴2A＝120°，∴A＝60°， ∴C＝60°， ∴△ABC为等边三角形． (2)∵f(x)＝sin x－cos x＝2(sin x－cos x) ＝2(sin xcos 60°－cos xsin 60°)＝2sin(x－60°)， ∴f(A＋45°)＝2sin 45°＝. 22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(，)，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)，若φ∈(－，)． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[0，π]上的值域； (3)若对任意实数x，不等式|f(x)－m|<2在[0，π]上恒成立，求实数m的取值范围． 【解】　(1)由最高点的坐标可得A＝，且由题意可得＝－，∴T＝4π，ω＝＝.当x＝时，ωx＋φ＝×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)． 令k＝0可得φ＝， ∴函数的解析式为f(x)＝sin(＋)． (2)当x∈[0，π]时，＋∈[，]， 则sin(＋)∈[，1]， ∴sin(＋)∈[1，]， 据此可得函数的值域为[1，]． (3)不等式|f(x)－m|<2在[0，π]上恒成立，即－2<f(x)－m<2， ∴m－2<f(x)<m＋2， 据此可得∴－2<m<3. 综上可得，m的取值范围是(－2，3)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$