章末检测卷(三)函数的概念与性质（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

章末检测卷(三) 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y＝＋的定义域为(　　) A．{x|x≤1}　　　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 【答案】　D 【解析】　由题意可知解得0≤x≤1. 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1和y＝ B．y＝x0和y＝1 C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝ 【答案】　D 【解析】　A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同． 3．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】　A 【解析】　∵f(＋1)＝x2－2x，令＋1＝3，得x＝2， ∴f(＋1)＝22－2×2，即f(3)＝0. 4．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞) 【答案】　C 【解析】　设幂函数y＝xα，则2α＝，解得α＝－2，所以y＝x－2，故函数y＝x－2的单调递增区间是(－∞，0)． 5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝－ 【答案】　B 【解析】　A：y＝x是奇函数，故不符合题意；B：y＝|x|＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C：y＝－x2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D：y＝－是奇函数，不合题意．故答案为B. 6．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2 【答案】　A 【解析】　y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2，由已知得a≤2或a≥3. 7．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　) A．－10 B．－2 C．－6 D．14 【答案】　B 【解析】　∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10， ∴125a＋5b＝6， ∴f(－5)＝－125a－5b＋4＝－(125a＋5b)＋4＝－6＋4＝－2. 8．函数y＝3x＋(x≥2)的值域是(　　) A．[，＋∞) B．[6＋，＋∞) C．[6，＋∞) D．[，＋∞) 【答案】　B 【解析】　∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数， ∴ymin＝3×2＋＝6＋. ∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞)． 9．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－4，0) B．(－∞，－2] C．[－4，－2] D．(－∞，0) 【答案】　C 【解析】　∵f(x)在R上为增函数，∴需满足 即－4≤a≤－2，故选C. 10．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意x1，x2∈(－∞，0]，当x1≠x2时总有>0，则满足f(1－2x)－f(－)>0的x的范围是(　　) A．(，) B．[，) C．(，) D．[，) 【答案】　A 【解析】　由题意，f(x)在(－∞，0]上是增函数，又f(x)是定义域为R的偶函数，故f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(1－2x)－f(－)>0可得f(1－2x)>f(－)＝f()，即f(|1－2x|)>f()，|1－2x|<，解得<x<. 11．(多选)下列说法正确的是(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．函数f(x)的值域是[－2，2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3，1] C．既是奇函数又是偶函数的函数有无数个 D．若A∪B＝B，则A∩B＝A 【答案】　CD 【解析】　由空集不是它本身的真子集知，A错误；由f(x)与f(x＋1)的值域相同知，B错误；设f(x)＝0，且x∈D，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，C正确；由A∪B＝B得，A⊆B，从而A∩B＝A，D正确．故选CD. 12．(多选)下列函数中，在定义域上既是奇函数，又为减函数的是(　　) A．f(x)＝－x－x3 B．f(x)＝ C．f(x)＝1－x D．f(x)＝－ 【答案】　AB 【解析】　只有A、B、D中的函数是奇函数，而f(x)＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数；利用图象法易判断B中的函数为R上的减函数；对于f(x)＝－x－x3，任取x1，x2∈R，且x2>x1，∵f(x2)－f(x1)＝－x2－x＋x1＋x＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)[(x1＋)2＋x＋1]<0，∴f(x)在R上为减函数，故选A、B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．若函数f(x)＝ 则f(f(f(－2020)))＝ ． 【答案】　π2＋1 【解析】　f(－2020)＝0，∴f(f(－2020))＝f(0)＝π， ∴f(f(f(－2020)))＝f(π)＝π2＋1. 14．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图，则它在[－1，0]上的解析式为 ． 【答案】　f(x)＝x＋2 【解析】　由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段，且过(－1，1)，(0，2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2. 所以f(x)＝x＋2. 15．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)<0的解集为 ． 【答案】　{x|－2<x<2} 【解析】　因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)＝0，所以f(－2)＝0. 又f(x)在(－∞，0]上是减函数，故f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 故满足f(x)<0的x的取值范围应为(－2，2)，即f(x)<0的解集为{x|－2<x<2}． 16．若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”． 给出下列四个函数中，①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝|x|；④f(x)＝能被称为“理想函数”的有 (填相应的序号)． 【答案】　④ 【解析】　①中，函数f(x)＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；②中，函数f(x)＝x2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f(x)＝|x|的定义域为R，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f(x)＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为理想函数，综上，答案为④. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝. (1)判断点(3，14)是否在f(x)的图象上； (2)当x＝4时，求f(x)的值； (3)当f(x)＝2时，求x的值． 【解】　(1)因为f(x)＝， 所以f(3)＝＝－， 所以点(3，14)不在f(x)的图象上． (2)f(4)＝＝－3. (3)令＝2，即x＋2＝2x－12， 解得x＝14. 18．(12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝9x－2. (1)求f(x)； (2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1，a]上的最大值． 【解】　(1)由题意可设f(x)＝kx＋b(k<0)， 由于f(f(x))＝9x－2，则k2x＋kb＋b＝9x－2， 故解得故f(x)＝－3x＋1. (2)由(1)知，函数y＝－3x＋1＋x2－x＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3， 故函数y＝x2－4x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝2， 当－1<a≤5时，y的最大值是f(－1)＝6， 当a>5时，y的最大值是f(a)＝a2－4a＋1， 综上，ymax＝ 19．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)． (1)证明：函数f(x)是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写出分段函数，然后画出函数图象； (3)写出函数的值域． 【解】　(1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． (2)f(x)＝ 图象如图所示． (3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)． 20．(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1. (1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数； (2)求当x<0时，函数的解析式． 【解】　(1)证明：设0<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)＝， ∵0<x1<x2，∴x1x2>0，x2－x1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数． (2)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－－1， 又f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)＝－－1， 即f(x)＝－－1(x<0)． 21．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}满足： (1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0，3]时，f(x)的值域． 【解】　因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}， 所以m＝－1，0，1. 因为对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足； 当m＝0时，f(x)＝x3， 条件(1)(2)都满足． 因此m＝0，且f(x)＝x3在区间[0，3]上是增函数， 所以0≤f(x)≤27. 故f(x)的值域为[0，27]． 22．(12分)已知函数f(x)＝为奇函数． (1)求b的值； (2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数； (3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)>0. 【解】　(1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝b＝0. (2)由(1)可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数． 证明：设x2>x1>1，则有f(x1)－f(x2)＝－＝. 再根据x2>x1>1， 可得1＋x>0，1＋x>0，x1－x2<0，1－x1x2<0， ∴>0， 即f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数． (3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)>0， 可得f(1＋x2)>－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)， ∵x2＋1≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3>1， 再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2<x2－2x＋4，且x>1，求得1<x<，故不等式的解集为(1，)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$