课时分层作业49 简单的三角恒等变换（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(四十九)　简单的三角恒等变换 基础达标 一、选择题 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A.　　　　　　 B．－ C．± D．± 【答案】　A 【解析】　由题意知∈(0，)， ∴cos >0，cos ＝＝. 2．若π<α<2π，则化简 的结果是(　　) A．sin B．cos C．－cos D．－sin 【答案】　C 【解析】　∵π<α<2π，∴<<π， ∴cos <0，原式＝＝＝－cos，故选C. 3．化简·的结果为(　　) A．tan α B．tan 2α C．1 D．2 【答案】　B 【解析】　原式＝·＝tan 2α. 4．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a 【答案】　C 【解析】　a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°， c＝sin 25°， ∵y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的， ∴a<c<b. 5．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 【答案】　B 【解析】　sin Asin B＝(1＋cos C)，即2sin Asin B＝1＋cos C， ∴2sin Asin B＝1－cos Acos B＋sin Asin B，故得cos (A－B)＝1， 又∵A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B，则△ABC是等腰三角形． 二、填空题 6．若sin(π－α)＝，α∈(0，)，则sin 2α－cos2的值为 ． 【答案】　 【解析】　∵sin(π－α)＝，∴sin α＝， 又∵α∈(0，)， ∴cos α＝＝， 因此，sin 2α－cos2＝2sin αcos α－(1＋cos α) ＝2××－×(1＋)＝－＝. 7．已知sin(＋α)＝，则cos2(－)＝ ． 【答案】　 【解析】　因为cos(－α) ＝sin[－(－α)]＝sin(＋α)＝， 所以cos2(－)＝＝＝. 8．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈[0，]的最小值为 ． 【答案】　－1 【解析】　f(x)＝sin(x－)，x∈[0，]．∵－≤x－≤，∴f(x)min ＝sin(－)＝－1. 三、解答题 9．求证：tan －tan＝. 【证明】　法一：(由左推右)tan－tan ＝－ ＝＝ ＝＝ ＝. 法二：(由右推左) ＝ ＝＝－＝tan －tan . 10．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 【解】　(1)因为tan α＝，tan α＝， 所以sin α＝cos α. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝， 所以tan 2α＝＝－， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－. 能力提升 11．已知tan 2α＝，α∈(－，)，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin(α－)的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 【答案】　A 【解析】　由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin(α－)＝sin αcos －cos αsin ＝－，故选A. 12．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　) A．2π，[，] B．π，[，] C．2π，[－，] D．π，[－，] 【答案】　B 【解析】　∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋sin(2x－)， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π， 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间[，]，故选B. 13．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos＝ ． 【答案】　± 【解析】　由25sin2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角， 得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)． 故cos θ＝－＝－， 由cos2＝得cos2＝. 又是第一、三象限角， 所以cos ＝±. 14．已知＝－，则sin(2α＋)的值是 ． 【答案】　 【解析】　＝＝－， 解得tan α＝2或tan α＝－， 当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－， 此时sin 2α＋cos 2α＝， 同理当tan α＝－时，sin 2α＝－， cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝， 所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝. 15．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，求f(x)的最大值． 【解】　f(x)＝(1＋tan x)cos x＝(1＋)cos x ＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)． ∵0≤x＜， ∴≤x＋<， ∴当x＋＝时， f(x)取到最大值2. 思维拓展 16．(多选)已知函数f(x)＝cos ·(sin ＋cos)，则下列区间中f(x)在其上单调递增的是(　　) A．(，) B．(－，) C．(0，) D．(0，) 【答案】　AC 【解析】　f(x)＝cos (sin＋cos ) ＝sin x＋＝sin(x＋)＋. 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 当k＝0时，函数f(x)在[－，]上单调递增． ∵(0，)⊆[－，]，所以C满足题意； 当k＝1时，函数f(x)在[，]上单调递增，所以A满足题意． 17．(多选)下列结论不正确的是(　　) A．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 8θcos 2θ B．cos 37.5°·cos 22.5°＝＋ C．sin xsin y＝－[cos(x＋y)－cos(x－y)] D．sin(＋α)cos(＋β)＝sin(α＋β)＋cos(α－β) 【答案】　ABD 【解析】　sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin(－3θ)＝2sin(θ＋)·cos(4θ－)，A不正确；cos 37.5°·cos 22.5° ＝[cos(37.5°＋22.5°)＋cos(37.5°－22.5°)] ＝(cos 60°＋cos 15°)＝(＋)， B不正确；C显然正确；sin(＋α)cos(＋β) ＝[sin(＋α＋＋β)＋sin(＋α－－β)] ＝[sin(＋α＋β)＋sin(α－β)] ＝cos(α＋β)＋sin(α－β)，D不正确． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$