课时分层作业48 二倍角的正弦、余弦、正切公式（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(四十八)　二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础达标 一、选择题 1.的值是(　　) A.　　　　　　 B．－ C. D．－ 【答案】　A 【解析】　原式＝＝＝＝. 2．若sin ＝，cos ＝－，则角α是(　　) A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】　C 【解析】　∵sin α＝2sin cos ＝2××(－)<0， cos α＝cos2－sin2＝(－)2－()2<0，∴α是第三象限的角． 3．已知α∈(0，)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　) A. B． C. D． 【答案】　B 【解析】　由2sin 2α＝cos 2α＋1， 得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1， 即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈(0，)， 所以cos α＝， 所以2sin α＝1－sin2α，sin α＝，故选B. 4．若＝，则tan 2α＝(　　) A．－ B． C．－ D． 【答案】　B 【解析】　因为＝， 整理得tan α＝－3， 所以tan 2α＝＝＝. 5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　) A. B． C．－ D．－ 【答案】　A 【解析】　设底角为θ，则θ∈(0，)，顶角为π－2θ. ∵sin θ＝，∴cos θ＝＝. ∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝. 二、填空题 6．已知函数f(x)＝sin(x＋)cos(x＋)的值域为 ． 【答案】　[－，] 【解析】　f(x)＝sin(2x＋)∈[－，]． 7．若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ等于 ． 【答案】　－ 【解析】　由题意得5sin θ＝4，即sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝－. 8．在△ABC中，已知cos 2C＝－，则sin C的值为 ． 【答案】　 【解析】　因为cos 2C＝1－2sin2C＝－， 且0<C<π，所以sin C＝. 三、解答题 9．求证：＝tan. 【证明】　 ＝ ＝＝tan . 10．已知cos x＝，且x∈(－，0)，求 cos(2x＋)＋sin2x的值． 【解】　∵cos x＝，x∈(－，0)， ∴sin x＝－＝－， ∴sin 2x＝2sin xcos x＝－， ∴cos(2x＋)＋sin2x＝(cos 2xcos－sin 2xsin)＋＝－sin 2x＝－×(－)＝. 能力提升 11．已知sin(＋α)＝，则cos(－2α)的值等于(　　) A. B． C．－ D．－ 【答案】　C 【解析】　因为cos(－α)＝sin[－(－α)]＝sin(＋α)＝， 所以cos(－2α)＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－. 12．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　) A. B． C. D．π 【答案】　D 【解析】　由题意得 ①2＋②2得cos β＝，cos α＝， 由α，β均为锐角知，sin β＝， sin α＝， ∴tan β＝2，tan α＝， ∴tan 2β＝－， ∴tan(α＋2β)＝0. 又α＋2β∈(0，)， ∴α＋2β＝π.故选D. 13．sin 40°(tan 190°－)＝ ． 【答案】　－1 【解析】　sin 40°(tan 190°－)＝sin 40°(tan 10°－) ＝ ＝＝ ＝－1. 14．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝ ． 【答案】　 【解析】　由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0， ∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos 2α－2cos2α＝0， ∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0， ∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0. ∵α为锐角， ∴cos2α≠0，sin α＋1≠0， ∴2sin α－1＝0， ∴sin α＝， ∴α＝. 15．已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)． (1)求tan 2α的值； (2)求2sin2(＋)－sin(α＋)． 【解】　(1)由sin α＋cos α＝，得sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)， 所以sin α－cos α＝＝， 解得sin α＝，cos α＝－， 故tan α＝－， 所以tan 2α＝＝. (2)2sin2(＋)－sin(α＋) ＝1－cos(α＋)－sin(α＋) ＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝. 思维拓展 16．(多选)下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是(　　) A．f(x)＝sin xcos x B．f(x)＝cos x C．f(x)＝cos2x－sin2x D．f(x)＝|tan(x＋π)| 【答案】　CD 【解析】　由题意可知f(x)是偶函数，且π是它的一个周期． f(x)＝sin xcos x＝sin 2x为奇函数，A错误； f(x)＝cos x是周期为2π的偶函数，B错误； f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x是周期为π的偶函数，f(x)＝|tan(x＋π)|＝|－tan x|＝|tan x|为偶函数，且周期为π，故D正确．故选CD. 17．(多选)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称 C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)的最小正周期为π 【答案】　BCD 【解析】　因为f(x)＝＝＝－tan x(x≠(k∈Z))， 所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点(，0)对称，故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$