课时分层作业47 两角和与差的正切公式（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(四十七)　两角和与差的正切公式 基础达标 一、选择题 1．若tan(＋α)＝2，则tan α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　A 【解析】　tan(α＋)＝＝2，解得tan α＝. 2．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．不确定 【答案】　B 【解析】　(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2. 3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】　A 【解析】　∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan C＝－tan(A＋B)＝－， ∴C为钝角． 4．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)＝(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝，故选C. 5．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　) A. B．7 C．－ D．－7 【答案】　D 【解析】　∵tan(180°－α)＝－tan α＝－， ∴tan α＝， ∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7. 二、填空题 6．已知tan(＋α)＝2，则的值为 ． 【答案】　 【解析】　∵tan(＋α)＝2，∴＝2，解得tan α＝. ∴＝＝＝＝. 7．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ． 【答案】　1 【解析】　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 8．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ . 【答案】　 【解析】　由条件知＝＝3，则tan α＝2. 因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2. 故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝ ＝＝. 三、解答题 9．已知tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值． 【解】　由已知有 ∴tan(α＋β)＝＝＝. ∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β) ＝ ＝ ＝＝－3. 10．已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求tan(α＋β)及α＋β的值． 【解】　∵tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根， ∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝， tan(α＋β)＝＝＝1. 又∵0<α<，π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝. 能力提升 11．若2cos α－sin α＝0，则tan(α－)等于(　　) A．－ B． C．－3 D．3 【答案】　B 【解析】　tan(α－)＝＝＝. 由2cos α－sin α＝0 ∴tan α＝2. 12．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则角B等于(　　) A．30° B．45° C．120° D．60° 【答案】　D 【解析】　由公式变形得： tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B) ＝tan(180°－C)(1－tan Atan B) ＝－tan C(1－tan Atan B) ＝－tan C＋tan Atan Btan C， ∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C ＝tan Atan Btan C＝3. ∵tan2B＝tan Atan C， ∴tan3B＝3， ∴tan B＝，B＝60°. 13．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝(　　) A.m B．(1－m) C.(m－1) D．(m＋1) 【答案】　B 【解析】　由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°) ＝(1－m)． 14．已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为 ． 【答案】　或1 【解析】　∵α＋β＝， ∴tan(α＋β)＝＝1， tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg(10a)＋lg＝1－lg(10a)lg ， 1＝1－lg(10a)lg， ∴lg(10a)lg＝0， ∴lg(10a)＝0或lg＝0， 解得a＝或a＝1. 15．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由． 【解】　假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tantan β＝2－同时成立 由(1)得＋β＝， 所以tan(＋β)＝＝. 又tantan β＝2－，所以tan ＋tan β＝3－，因此tan，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根， 解得x1＝1，x2＝2－. 若tan＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾，所以tan＝2－，tan β＝1，所以α＝，β＝，所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝. 思维拓展 16．(多选)下列结论正确的是(　　) A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝ B．(1＋tan 20°)(1＋tan 40°)＝ C.＝ D.＝ 【答案】　AC 【解析】　A．原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°·tan 35°)＋tan 25°·tan 35°＝－tan 25°·tan 35°＋tan 25°·tan 35°＝；B.原式＝1＋tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝1＋(1－tan 20°.tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝1＋＋(1－)·tan 20°＋tan 40°≠；C.原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝；D.原式＝＝tan＝.故选AC. 17．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan(A＋B)＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 【答案】　CD 【解析】　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°， ∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝＝， ∴A，B都错； ∵tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， ∴tan A·tan B＝①； 又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C，D正确．综上，C，D正确．故选CD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$