课时分层作业46 两角和与差的正弦、余弦公式（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(四十六)　两角和与差的正弦、余弦公式 基础达标 一、选择题 1．化简sin(x＋)＋sin(x－)＝(　　) A．－sin x　　　　 B．sin x C．－cos x D．cos x 【答案】　B 【解析】　sin(x＋)＋sin(x－) ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x ＝sin x. 2．cos(－)－sin(－)的值是(　　) A. B．－ C．0 D． 【答案】　A 【解析】　cos(－)－sin(－) ＝[coscos(－)－sin·sin(－)] ＝cos[＋(－)]＝cos(－4π)＝. 3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β＝(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　∵0<β<α<， ∴0<α－β<， 由cos α＝得sin α＝， 由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝＝， ∴β＝. 4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　) A．1 B．－1 C．0 D．±1 【答案】　C 【解析】　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0， sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0. 5．若锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　∵cos α＝，cos(α＋β)＝， α，β∈(0，)， ∴0<α＋β<，∴sin α＝，sin(α＋β)＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 二、填空题 6．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sinαcos β＋cos αsin β＝ ． 【答案】　±1 【解析】　由已知得cos(α＋β)＝0， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1. 7．求值：cos－sin＝ ． 【答案】　 【解析】　原式＝(cos－sin) ＝(sincos－cossin) ＝sin(－)＝sin＝. 8．化简：＝ ． 【答案】　1 【解析】　原式＝ ＝＝1. 三、解答题 9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值． 【解】　∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－， ∴sin(β＋)＝sin βcos＋cos βsin ＝(－)×＋(－)×＝－. 10．若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝－，cos(－)＝，求cos(α＋)的值． 【解】　∵cos(＋α)＝－，∴cos(＋α)＝. ∵0<α<，∴<α＋<， ∴sin(＋α)＝. ∵－<β<0，∴<－<. 又cos(－)＝，∴sin(－)＝， ∴cos(α＋)＝cos[(＋α)－(－)] ＝cos(＋α)cos(－)＋sin(＋α)sin(－) ＝×＋×＝. 能力提升 11．在△ABC中，若A＝，cos B＝，则sin C等于(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　A 【解析】　sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)＝×(＋)＝. 12．已知sin(α＋)＋sin α＝－，－<α<0，则cos(α＋)等于(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　C 【解析】　∵sin(α＋)＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α ＝(sin α＋cos α)＝cos(α－)＝－， ∴cos(α－)＝－， ∴cos(α＋)＝cos[π－(－α)] ＝－cos(－α)＝－cos(α－)＝. 13．若tan α＝2tan ，则＝ ． 【答案】　3 【解析】　＝＝ ＝＝＝＝3. 14．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ ． 【答案】　 【解析】　(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2 ＝2＋2sin αsin β＋2cos αcos β ＝2＋2cos(α－β)＝2＋＝. 15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ＜)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值． 【解】　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2. 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，…. 由－≤φ<，得k＝0，所以φ＝－＝－. (2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝， 所以sin(α－)＝. 由<α<得0<α－<， 所以cos(α－)＝＝＝. 因此cos(α＋)＝sin α＝ sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋ cos(α－)sin ＝×＋×＝. 思维拓展 16．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述不正确的是(　　) A．对任意的角α，β都成立 B．α＝β＝0时成立 C．只对有限个α，β的值成立 D．对于任何角α，β都不成立 【答案】　ACD 【解析】　因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B成立．故选ACD. 17．(多选)下列结论正确的是(　　) A．cos(α＋β)＝cos α＋cos β B．cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β C．sin(α＋β－15°)＝sin(α－15°)cos β＋cos(α－15°)sin β D．sin 15°＋cos 15°＝sin 60° 【答案】　CD 【解析】　当α＝β＝时，cos(α＋β)＝cos＝0，cos α＋cos β＝＋＝，A不正确；B中右边应为“－”，B不正确；sin(α＋β－15°)＝sin[(α－15°)＋β]＝sin(α－15°)cos β＋cos(α－15°)sin β，C正确；sin 15°＋cos 15°＝(sin 15°＋cos 15°)＝sin(15°＋45°)＝sin 60°，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$