课时分层作业45 两角差的余弦公式（Word练习）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(四十五)　两角差的余弦公式 基础达标 一、选择题 1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D．－ 【答案】　B 【解析】　cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝. 2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 【答案】　B 【解析】　由已知得cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，检验知选B. 3．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝(　　) A. B． C. D． 【答案】　B 【解析】　因为sin α＝，α是第二象限角， 所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝(－)×＋×＝. 4．已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为(　　) A. B． C. D．1 【答案】　B 【解析】　因为sin α－sin β＝1－， 所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－.① 又因为cos α－cos β＝， 所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝.② 所以①＋②得2cos(α－β)＝， 所以cos(α－β)＝，故选B. 5．若cos(α＋β)＝，sin(β－)＝，α，β∈(0，)，那么cos(α＋)的值为(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　因为α，β∈(0，)， 所以α＋β∈(0，π)，β－∈(－，)． 又因为cos(α＋β)＝， sin(β－)＝， 所以sin(α＋β)＝＝， cos(β－)＝＝， 所以cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)] ＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－) ＝×＋×＝. 故选C. 二、填空题 6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝ ． 【答案】　cos(α＋γ－2β) 【解析】　原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ) ＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ) ＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)． 7．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝ ． 【答案】　－ 【解析】　因为cos B＝－，且0<B<π，所以<B<π，所以sin B＝＝＝，且0<A<， 所以cos A＝＝＝， 所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B ＝×(－)＋×＝－. 8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝ ． 【答案】　－ 【解析】　因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称， 所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α ＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 三、解答题 9．若x∈[，π]，且sin x＝，求2cos(x－π)＋2cos x的值． 【解】　因为x∈[，π]，sin x＝， 所以cos x＝－. 所以2cos(x－π)＋2cos x ＝2(cos xcosπ＋sin xsinπ)＋2cos x ＝2(－cos x＋sin x)＋2cos x ＝sin x＋cos x＝－＝. 10．已知sin(α＋)＝，且<α<，求cos α的值． 【解】　因为sin(α＋)＝， 且<α<， 所以<α＋<π. 所以cos(α＋)＝－＝－. 所以cos α＝cos[(α＋)－] ＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin ＝(－)×＋×＝. 能力提升 11．已知cos(x－)＝－，则cos x＋cos(x－)＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 【答案】　C 【解析】　cos x＋cos(x－) ＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝(cos x＋sin x) ＝cos(x－)＝×(－)＝－1. 12.的值是(　　) A. B． C. D． 【答案】　C 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝＝. 13．若cos αcos β－sin αsin β＝，cos(α－β)＝，则tan α·tan β＝ ． 【答案】　 【解析】　∵cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝， cos αcos β－sin αsin β＝， 解得cos αcos β＝，sin αsin β＝， ∴tan αtan β＝＝＝. 14．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为 ． 【答案】　 【解析】　sin(α－β)＝－(－<α－β<0)，sin 2α＝， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×＋×(－)＝－， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. 15．已知0<β<，<α<，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 【解】　∵<α<，∴－<－α<0， ∴sin(－α)＝－＝－. 又∵0<β<，∴<＋β<π， ∴cos(＋β)＝－＝－， sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β)＝－cos[(＋β)－(－α)] ＝－cos(＋β)cos(－α)－sin(＋β)sin(－α) ＝－(－)×－×(－)＝. 思维拓展 16．(多选)已知α，β，γ∈(0，)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 【答案】　AC 【解析】　由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两边分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝， ∴C正确，D错误，故选AC. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$