课时分层作业13 一元二次不等式的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十三)　一元二次不等式的应用 基础达标 一、选择题 1．不等式≤0的解集为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　不等式≤0可化简为(x＋1)(2x－1)≤0且x≠，该分式不等式的解集为－1≤x<，所以选A. 2．不等式≥2的解集是(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　≥2⇔ ⇔ ∴不等式的解集为 . 3．不等式x2－|x|－2≥0的解集是(　　) A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2} C．{x|－2≤x≤2} D．{x|x≤－2或x≥2} 【答案】　D 【解析】　把不等式改写为|x|2－|x|－2≥0，解得：|x|≥2，则x≤－2或x≥2，选D. 4．若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　∵不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集， ∴Δ>0，即1－4m2>0， ∴－<m<，故选B. 5．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是(　　) A．{a|－1<a<1} B．{a|a<－1或a>1} C．{a|－2<a<1} D．{a|a<－2或a>1} 【答案】　C 【解析】　令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2， 依题意得f(1)<0， 即1＋a2－1＋a－2<0， ∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1. 二、填空题 6．不等式≥1的解集为 ． 【答案】　 【解析】　因为≥1等价于≥0， 所以≤0， 等价于 解得－4<x≤. 7．命题“对任意x∈R，mx2＋(m＋1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数m的取值集合是 ． 【答案】　{1} 【解析】　由命题“对任意x∈R，mx2＋(m＋1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则 ①m＝0时，不等式可变为x＋1≥0，显然不满足题意； ②m≠0时，由已知有解得m＝1. 综合①②得，实数m的取值集合是{1}． 8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处． 【答案】　5 【解析】　设仓库到车站的距离为x千米，则y1＝，y2＝k2x，易知k1＝20，k2＝， 则两项费用之和S＝＋x≥8，当且仅当＝x，即x＝5时取等号， ∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小，最小为8万元． 三、解答题 9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R? 【解】　(1)∵1－a<0且－3和1为方程(1－a)x2－4x＋6>0的两根， ∴解得a＝3. ∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0， 即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>， ∴所求不等式的解集为. (2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0， 若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0， ∴－6≤b≤6. 10．关于x的不等式组 的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围． 【解】　∵－2是2x2＋(2k＋5)x＋5k<0的解， ∴2(－2)2＋(2k＋5)(－2)＋5k＝k－2<0. ∴k<2，－k>－2>－， ∴2x2＋(2k＋5)x＋5k＝(x＋k)(2x＋5)<0的解集为， 又x2－x－2>的解集为{x|x<－1或x>2}， ∴－2<－k≤3， ∴k的取值范围为{k|－3≤k＜2}． 能力提升 11．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　) A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间 【答案】　C 【解析】　设销售价定为每件x元，利润为y元， 则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]>320， 即x2－28x＋192<0， 解得12<x<16， 所以每件销售价应为12元到16元之间． 12．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k<0 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 【答案】　D 【解析】　当k＝0时，显然成立； 当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则 解得－3<k<0. 综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3<k≤0. 13．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是 ． 【答案】　{x|0<x<2} 【解析】　不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2，故不等式的解集为{x|0<x<2}． 14．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】　－8≤λ≤4 【解析】　因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立， 即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 15．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值； (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集． 【解】　(1)根据题意得 解得a＝－2，b＝8. (2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0， 即[x－(a＋1)](x＋1)<0. 当a＋1＝－1，即a＝－2时， 原不等式的解集为∅； 当a＋1<－1，即a<－2时， 原不等式的解集为(a＋1，－1)； 当a＋1>－1，即a>－2时， 原不等式的解集为(－1，a＋1)． 思维拓展 16．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．b>0 C．c>0 D．a＋b＋c>0 【答案】　BCD 【解析】　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－，2)，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确．故选BCD. 17．(多选)解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是(　　) A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4} B．当a>0时，不等式的解集为 C．当a<－时，不等式的解集为 D．当－<x<0时，不等式的解集为 【答案】　ABC 【解析】　不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确； 当a>0时，不等式的解集为，故B正确； 当a<0时，有(x＋)(x－4)<0， (1)当－<4即，a<－时，不等式的解集为，故C正确； (2)当－>4即－<a<0时，不等式的解集为，故D错误； (3)当－＝4即a＝－时，不等式的解集为空集． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$