课时分层作业12 一元二次不等式及其解法（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十二)　一元二次不等式及其解法 基础达标 一、选择题 1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A. B. C．∅ D. 【答案】　D 【解析】　原不等式可化为(3x＋1)2≤0， ∴3x＋1＝0，∴x＝－. 2．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A．{1，2，3}　　　　 B．{1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5} 【答案】　B 【解析】　(2x＋1)(x－3)<0， ∴－<x<3， 又x∈N*且x≤5，则x＝1，2. 3．如果关于x的不等式x2<ax＋b的解集是{x|1<x<3}，那么ba等于(　　) A．－81 B．81 C．－64 D．64 【答案】　B 【解析】　不等式x2<ax＋b可化为x2－ax－b<0，其解集是{x|1<x<3}，由根与系数的关系得 解得 所以ba＝(－3)4＝81.故选B. 4．若使有意义的x取值为实数集R，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－2<a<2} B．{a|a<－2或a>2} C．{a|a≤－2或a≥2} D．{a|－2≤a≤2} 【答案】　D 【解析】　由题意知，x2＋ax＋1≥0的解集为R，∴Δ≤0， 即a2－4≤0，∴－2≤a≤2. 5．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} 【答案】　B 【解析】　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 二、填空题 6．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为 ． 【答案】　－1<a≤ 【解析】　设y＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}， 所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0. 若A＝∅， 则Δ＝4a2－4(a＋2)<0， 即a2－a－2<0，解得－1<a<2. 若A≠∅， 则即 所以2≤a≤. 综上，a的取值范围为－1<a≤. 7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是 ． 【答案】　{k|k≤2或k≥4} 【解析】　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解， 把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 8．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】　{m|m<0} 【解析】　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为， ∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2， 且解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}． 三、解答题 9．求下列不等式的解集： (1)x2－5x＋6>0； (2)－x2＋3x－5>0. 【解】　(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2，0)和(3，0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3或x<2}． (2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40 <0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)． 根据图象可得不等式的解集为∅. 10．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 【解】　原不等式可化为 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小 (1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)． (2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. (3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)或x<a＋1， 综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠4}， 当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)或x<a＋1}． 能力提升 11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　) A. B．R C. D．∅ 【答案】　A 【解析】　因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A. 12．关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|x>2或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1} 【答案】　C 【解析】　∵ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}， ∴解得 ∴bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2. 13．若0<t<1，则不等式(x－t)(x－)<0的解集为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　t∈0<t<1时，t<，∴解集为. 14．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是 ． 【答案】　{x|2<x<3} 【解析】　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，且a<0，由根与系数的关系，得(－)＋(－)＝，(－)×(－)＝－，解得a＝－6，b＝5， ∴不等式x2－bx－a<0，即为x2－5x＋6<0的解集为{x|2<x<3}． 15．已知函数y＝3mx2＋mx－2(m∈R)． (1)当m＝1时，解不等式y>0； (2)若关于x的不等式y<0的解集为R，求实数m的取值范围． 【解】　(1)当m＝1时，y＝3x2＋x－2. 由y>0可得3x2＋x－2>0，解可得，x>或x<－1， 故不等式的解集为. (2)∵不等式y<0的解集为R，所以3mx2＋mx－2<0恒成立， ①m＝0时，－2<0恒成立，符合题意， ②m≠0时，根据二次函数的性质可知， 解可得，－24<m<0， 综上可得，实数m的取值范围{m|－24<m≤0}． 思维拓展 16．(多选)已知一元二次函数y＝x2＋px＋q，则下列说法正确的是(　　) A．若二次函数的图象的对称轴为y轴，则p＝0 B．当x>1时，y随x的增大而增大，则p的取值范围为{p|p≥－2} C．当x<1时，y随x的增大而减小，则p的取值范围为{p|p≥－2} D．当－1<x<1时，既有y随x的增大而减小，也有y随x的增大而增大，则p的取值范围为{p|p≥－2} 【答案】　AB 【解析】　∵函数y＝x2＋px＋q的图象的对称轴为x＝－＝0， ∴p＝0，故A正确； ∵函数y＝x2＋px＋q的图象的对称轴为x＝－，当x>1时，y随自变量x的增大而增大，∴－≤1，∴p≥－2，故B正确； 当x<1时，y随x的增大而减小， ∴－≥1，∴p≤－2，故C错误； 当－1<x<1时，既有y随x的增大而减小，也有y随x的增大而增大，则－1<－<1，∴－2<p<2，故D错误． 17．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　) A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3} B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是R C．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅ D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3} 【答案】　BD 【解析】　在A中，依题意得a＝0，且3b＋3＝0，解得b＝－1，此时不等式为－x＋3>0，解得x<3，故A错误；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，C错误； 在D中，依题意得a<0，且解得符合题意，故D正确．故选BD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$