课时分层作业11 基本不等式的应用（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十一)　基本不等式的应用 基础达标 一、选择题 1．若a>1，则a＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　 B．a C. D．3 【答案】　D 【解析】　a>1，∴a－1>0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3. 2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】　C 【解析】　∵x<0，∴f(x)＝－[(－x)＋－2]≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号． 3．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】　C 【解析】　依题意＋＝(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，故选C. 4．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　) A. B． C. D． 【答案】　B 【解析】　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝(－x)． 又x>0， 所以x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时，等号成立．) 5．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】　B 【解析】　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2 (当且仅当＝时取等号)． ∵(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立， ∴(＋1)2≥9. ∴a≥4. 二、填空题 6．已知x>0，则函数f(x)＝7－x－的最大值为 ． 【答案】　1 【解析】　因为x>0，则函数f(x)＝7－x－＝7－(x＋)≤7－2＝1，当且仅当x＝即x＝3时取等号． 7．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是 ． 【答案】　a＋b≥6 【解析】　∵a＋b＋3＝ab≤()2，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解之a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号． 8．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是 ． 【答案】　6 【解析】　∵x>1，∴＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－1＝， 即x＝3时，等号成立，所以a≤6. 三、解答题 9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值． 【解】　y＝(2x－3)＋＋＝－(＋)＋， ∵当x<时，3－2x>0， ∴＋≥2＝4， 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－. 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用) 【解】　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得 y＝2x－(6x＋－118)＝118－(4x＋) ＝118－[4(x＋3)＋－12]＝130－[4(x＋3)＋]≤130－2＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益． 能力提升 11．若－4<x<1，则y＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 【答案】　D 【解析】　y＝＝[(x－1)＋]， 又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0. 故y＝－[－(x－1)＋]≤－1. 当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． 12．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2<m<4 D．－2<m<2 【答案】　D 【解析】　∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋ ≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立， 即8>m2，解得－2<m<2. 13．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为 ． 【答案】　 【解析】　1＝x＋4y≥2＝4， ∴xy≤，当且仅当x＝4y＝时等号成立． 14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是 ． 【答案】　 【解析】　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤()2＋1. ∴(x＋y)2≤1. ∴x＋y≤，当且仅当x＝y＝时等号成立． 15．已知a，b，x，y>0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b. 【解】　x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋ ≥a＋b＋2＝(＋)2， 当且仅当＝时取等号． 故(x＋y)min＝(＋)2＝18， 即a＋b＋2＝18，① 又a＋b＝10，② 由①②可得或 思维拓展 16．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A．ab有最大值 B.＋有最小值 C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值 【答案】　AC 【解析】　∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤， ∴ab有最大值， ∴选项A正确； ，∴＋的最小值不是，故B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，故C正确；a2＋b2≥2ab，2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，故D错误．故选AC. 17．(多选)设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋1>a B．(a＋)(b＋)≥4 C．(a＋b)(＋)≥4 D．a2＋9>6a 【答案】　ABC 【解析】　由于a2＋1－a＝(a－)2＋>0， ∴a2＋1>a，故A恒成立； 由于a＋≥2，b＋≥2， ∴(a＋)(b＋)≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B恒成立； 由于a＋b≥2，＋≥2， ∴(a＋b)(＋)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立．故选ABC. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$