课时分层作业10 基本不等式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

课时分层作业(十)　基本不等式 基础达标 一、选择题 1．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　) A．a＝4 B．a＝ C．a＝－ D．a＝± 【答案】　D 【解析】　此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D. 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 【答案】　A 【解析】　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1. 3．已知x<0，则x＋－2有(　　) A．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】　C 【解析】　∵x<0，∴－x>0，∴x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2－2＝－4.当且仅当－x＝－时，即x＝－1时等号成立． 4．已知0<a<1，0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 【答案】　D 【解析】　因为0<a<1，0<b<1，所以a2<a，b2<b， 所以a2＋b2<a＋b， 又a2＋b2>2ab(因为a≠b)， 所以2ab<a2＋b2<a＋b. 又因为a＋b>2(因为a≠b)， 所以a＋b最大，故选D. 5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C.<v< D．v＝ 【答案】　A 【解析】　设甲、乙两地的距离为s，则v＝＝. 由于a<b，∴＋<， ∴v>a， 又＋>2，∴v<. 故a<v<，选A. 二、填空题 6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是 ． 【答案】　x<y 【解析】　x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b>2(a≠b)，∴x2<y2， ∵x，y>0，∴x<y. 7．已知a>b>c，则与的大小关系是 ． 【答案】　≤ 【解析】　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号． 8．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是 (填序号)． 【答案】　①③④ 【解析】　因为ab≤()2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确． 三、解答题 9．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 【证明】　∵a，b>0，∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，∴＋b＋＋a≥2a＋2b，∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立． 10．设a>0，b>0，且a＋b＝＋，证明：a＋b≥2. 【证明】　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，即有a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2. 能力提升 11．下列不等式一定成立的是(　　) A．x＋≥2 B.≥ C.≥2 D．2－3x－≥2 【答案】　B 【解析】　A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误． B项中，＝≥，∴B正确． 而对于C，＝－， 当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确． D项中取x＝1，2－3x－<2，∴D错误． 12．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【答案】　C 【解析】　∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤()2＝1， 而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)， ∴a2＋b2≥2. 13．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为 ． 【答案】　2 【解析】　xy≤＝2，当且仅当x＝y时取等号． 14．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥()2；③≥；④＋≥2. 其中恒成立的不等式是 ． 【答案】　①② 【解析】　由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； ②＝＝≥ ＝＝()2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确． 15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋. 【证明】　∵a>0，b>0，c>0， ∴≥，≥，≥， ∴＋＋≥＋＋， 即a＋b＋c≥＋＋. 由于a、b、c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c>＋＋. 思维拓展 16．(多选)若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋> C.＋≥2 D．ab＋>2 【答案】　CD 【解析】　当a<0，b<0时，选项A、B明显错误． ∵ab>0，∴＋≥2＝2， 当且仅当a＝b时取等号，故选项C正确． ∵ab＋≥2，当且仅当ab＝时等号成立， ∴ab＋>2恒成立，故选项D正确． 17．(多选)下列不等式中错误的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2 【答案】　ABC 【解析】　a<0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错； a＝4，b＝16，则<，故C错； 由基本不等式可知D正确． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$