第5章 三角函数 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

章末复习课 1．同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1；＝tan α. 2．诱导公式 (1)记忆口诀：奇变偶不变．符号看象限． (2)功能：将k·±α(k∈Z)的三角函数值化为α的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用． 3．三角函数的性质(表中k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R 单调性 增区间：[－＋2kπ，＋2kπ] 减区间：[＋2kπ，＋2kπ] 增区间：[－π＋2kπ，2kπ] 减区间：[2kπ，π＋2kπ] 增区间：(－＋kπ，＋kπ) 周期性 2π 2π π 图象的 对称轴 x＝＋kπ x＝kπ 无 图象的 对称中 心 (kπ，0) (＋kπ，0) (kπ，0) 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝ 5．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 6．辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角且tan φ＝)(或asin x＋bcos x＝cos(x－φ)，tan φ＝) 要点一　同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． 　(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则＝ ． (2)已知f(α)＝ ①化简：f(α)； ②若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； ③若α＝－，求f(α)的值． (1)【答案】　 【解析】　由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则＝＝＝. (2)【解】　①f(α)＝＝sin α·cos α. ②由f(α)＝sin α·cos α＝可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝， 又∵<α<， ∴cos α<sin α， 即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－. ③∵α＝－π＝－6×2π＋， ∴f(－π)＝cos(－π)·sin(－π) ＝cos(－6×2π＋)·sin(－6×2π＋) ＝cos·sin＝×＝. 1．(1)已知tan α＝，α∈(0，)，则sin α－cos α＝ ． (2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. ①求tan α的值； ②把用tan α表示出来，并求其值． (1)【答案】　－ 【解析】　因为tan α＝＝， 由解得 所以sin α－cos α＝－＝－. (2)【解】　①由sin α＋cos α＝， 得1＋2sin αcos α＝， 所以sin αcos α＝－， 因为α是三角形的内角，所以sin α>0， cos α<0， ∴sin α－cos α＝ ＝ ＝＝. ∴sin α＝，cos α＝－， tan α＝＝－. ②原式＝＝＝＝－ 要点二　三角函数的图象变换与应用 1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换． 3．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象上的一个最低点为M(，－2)，周期为π. (1)求f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式； (3)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值和最小值． 【解】　(1)∵T＝＝π，∴ω＝2， 又f(x)min＝－2. ∴A＝2，由f(x)的最低点为M， ∴sin(＋φ)＝－1. ∵0<φ<，∴<＋φ<. ∴＋φ＝，∴φ＝. ∴f(x)＝2sin(2x＋)． (2)y＝2sin(2x＋)y＝2sin(×2x＋)＝2sin(x＋)y＝2sin[(x－)＋]＝2sin x， ∴g(x)＝2sin x. (3)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴当2x＋＝，即x＝时， f(x)max＝2sin＝， 当2x＋＝，即x＝0时， f(x)min＝2sin＝1. 2．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函数，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　) A．[0，] B．[，π] C．(，) D．[，π] 【答案】　B 【解析】　因为函数f(x)＝3sin(2x＋θ)(0<θ<π)是偶函数， 所以 θ＝，f(x)＝3sin(2x＋)＝－3cos 2x， 令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ，可得函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z， 所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[，π]． 要点三　三角恒等变换与三角函数的综合问题 1．三角恒等变换与三角函数的综合应用问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 2．通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养． 　已知函数f(x)＝cos xsin (x＋)－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－cos2x＋ ＝sin x·cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)． ∴f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵－≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－1≤sin(2x－)≤， ∴－≤f(x)≤， ∴函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－. 3．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f(x)的单调递增区间． 【解】　(1)f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝sin(2ωx＋)． 又f(x)的最小正周期为π，ω>0， ∴T＝＝π，∴ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋)， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$