第5章 5.7 三角函数的应用（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．7　三角函数的应用 1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 2．解三角函数应用题的基本步骤 (1)审清题意． (2)搜集整理数据，建立数学模型． (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 1．函数y＝的周期为π.(　　) 2．一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子在2 s内通过的路程为50 cm.(　　) 3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝s时，电流强度I为A.(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√ 一、三角函数在物理中的应用 　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ) (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 【解】　(1)由题图可知A＝300， 设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2(＋)＝. ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0， 即sin(150π·＋φ)＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋)． (2)依题意知，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. 【反思感悟】　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 【解】　(1)当t＝0时，E＝110(V)，即开始时的电压为110V. (2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220V，当100πt＋＝，即t＝s时第一次取得最大值． 二、三角函数模型的实际应用 　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 . x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 【答案】　y＝－4cost 【解析】　设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，则y＝4sin(t－)，即y＝－4cost.　 【反思感悟】　解三角函数应用问题的基本步骤 【提醒】　关注实际意义求准定义域． 2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数．其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 用y＝Asin ωt＋b刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式. 【解】　函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，因此＝12，ω＝. 又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时， ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)． 1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin(2t＋)，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 【答案】　C 【解析】　当t＝时，s1＝5sin(＋)＝5sin＝－5， 当t＝时，s2＝10cos＝10×(－)＝－5， 故s1＝s2. 2．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0，)，则该简谐振动的频率和初相是(　　) A.， B．， C.， D．， 【答案】　B 【解析】　由题意可知，A＝，32＋()2＝52， 则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin(x＋φ)． 由图象过点(0，)得sin φ＝， ∴sin φ＝，∵|φ|<，∴φ＝， 因此频率是，初相为，故选B. 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列时间段中人流量是增加的是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 【答案】　C 【解析】　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z， 知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z. 当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 4．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为 ． 【答案】　 【解析】　A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为. 5．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin(100πt－)，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动 次． 【答案】　50 【解析】　据I＝5sin(100πt－)知ω＝100π rad/s， 该电流的周期为T＝＝＝0.02 s， 则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为 n＝2·＝2×s＝50(次)． 1．知识清单： (1)三角函数在物理中的应用． (2)三角函数模型的实际应用． 2．方法归纳：数学建模． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$