第5章 5.5 5.5.2 简单的三角恒等变换（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．5.2　简单的三角恒等变换 1．能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点) 2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点) 半角公式 (1)sin ＝±， (2)cos ＝±， (3)tan ＝± ， (4)tan ＝＝＝， tan ＝＝＝. 1．cos ＝.(　　) 2．对任意α∈R，sin ＝cos α都不成立．(　　) 3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos ＝.(　　) 4．对任意α都有sin α＋cos α＝2sin (α＋)．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√　4.√ 一、化简求值问题 　(1)设5π<θ<6π，cos ＝a，则sin 等于(　　) A. B． C．－ D．－ (2)已知π<α<，化简： ＋. (1)【答案】　D 【解析】　∵5π<θ<6π，∴∈(，3π)， ∈(，)． 又cos ＝a， ∴sin ＝－＝－. (2)【解】　原式＝＋ ∵π<α<，∴<<， ∴cos <0，sin >0， ∴原式＝ ＋ ＝－＋ ＝－cos . 【反思感悟】　 1．化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法． 2．利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号做准备． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算． (4)下结论：结合(2)求值． 1．已知sin θ＝－，3π<θ<π，则tan 的值为(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 【答案】　B 【解析】　∵3π<θ<，sin θ＝－， ∴cos θ＝－，tan ＝＝－3. 二、三角恒等式的证明 　求证：＋＝. 【证明】　左边＝＋ ＝＋ ＝＝＝右边． 所以原式成立． 【反思感悟】　探究证明三角恒等式的原则与步骤 (1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 2．求证：－tan θ·tan 2θ＝1. 【证明】　－tan θ·tan 2θ＝－ ＝＝＝ ＝＝1. 三、三角恒等变换的综合问题 　已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性． 【解】　(1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋) ＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx ＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ ＝2sin(2ωx＋)＋. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋. 若0≤x≤，则≤2x＋≤. 当≤2x＋≤， 即0≤x≤，f(x)单调递增； 当<2x＋≤，即<x≤时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间(，]上单调递减． 【反思感悟】　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 3．已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 【解】　(1)∵f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－) ＝sin[2(x－)]＋1－cos[2(x－)] ＝2＋1 ＝2sin[2(x－)－]＋1＝2sin(2x－)＋1， ∴T＝＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin(2x－)＝1. 有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)， ∴所求x的集合为. 1．若cos 2α＝－，且α∈[，π]，则sin α＝(　　) A. B． C. D．－ 【答案】　A 【解析】　因为α∈[，π]，所以sin α>0，由半角公式可得sin α＝＝. 2．下列各式与tan α相等的是(　　) A. B． C. D． 【答案】　D 【解析】　＝＝＝tan α. 3．若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　) A. B． C. D．π 【答案】　C 【解析】　f(x)＝cos x－sin x＝cos(x＋)．当x∈[0，a]，时x＋∈[，a＋]，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C. 4．函数f(x)＝sin2 x的最小正周期为 ． 【答案】　π 【解析】　因为f(x)＝sin2x＝， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 5．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝ ，b＝ ． 【答案】　　1 【解析】　2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin(2x＋)＋1，∴A＝，b＝1. 1．知识归纳： (1)半角公式． (2)辅助角公式． (3)三角恒等变换的综合问题． 2．方法归纳：换元思想，化归思想． 3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$