第5章 5.5 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点) 2．能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点) 3．熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点) 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin αcos α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 2.余弦的二倍角公式的变形 3．正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝． (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　) 2．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　) 3．对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.× 一、给角求值 　求下列各式的值： (1)2cos2－1； (2)； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. 【解】　(1)原式＝cos ＝cos(4π＋)＝cos＝. (2)原式＝＝2×＝2×＝2. (3)原式＝＝ ＝＝＝＝. 【反思感悟】　对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 1．求下列各式的值： (1)sincos； (2)cos2－sin2； (3). 【解】　(1)原式＝×2sincos ＝sin＝. (2)原式＝cos＝. (3)原式＝tan 30°＝. 二、给值求值、求角问题 　(1)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值． (2)已知α∈(－，)，且sin 2α＝sin(α－)，求α. (1)【解】　∵≤α<， ∴≤α＋<. cos(α＋)>0，∴<α＋<. ∴sin(α＋)＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝sin(2α＋)＝sin 2(α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋) ＝2×(－)×＝－， sin 2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝1－2×()2＝. ∴cos(2α＋)＝cos 2α－sin 2α＝×(－－) ＝－. (2)∵sin 2α＝－cos(2α＋) ＝－[2cos2(α＋)－1] ＝1－2cos2(α＋)， sin(α－)＝－sin(－α) ＝－cos[－(－α)] ＝－cos(＋α)， ∴原式可化为1－2cos2(α＋)＝－cos(α＋)， 解得cos(α＋)＝1或cos(α＋)＝－. ∵α∈(－，)， ∴α＋∈(－，)， 故α＋＝0或α＋＝， 即α＝－或α＝. 【反思感悟】　解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到f(±x)这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)． 类似的变换还有： cos 2x＝sin(＋2x)＝2sin(＋x)cos(＋x)． sin 2x＝cos(－2x)＝2cos2(－x)－1， sin 2x＝－cos(＋2x)＝1－2cos2(＋x)等． 2．已知sin(－x)＝，0<x<，则的值为 ． 【答案】　 【解析】　∵0<x<，sin(－x)＝， ∴－x∈(0，)，cos(－x)＝， 利用诱导公式，sin(＋x)＝cos[－(＋x)] ＝cos(－x)＝. ∴原式＝ ＝ ＝2sin(＋x)＝. 三、三角函数式的化简与证明 　求证：＝tan4 A. 【证明】　因为左边＝ ＝()2＝()2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边， 所以＝tan4A. 【反思感悟】　探究三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分； (3)对于二次根式，注意倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (5)利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin2 α＋cos2α＝1等． 3．(1)化简：(1＋tan xtan)． (2)求证：sin3αsin 3α＋cos3 αcos 3α＝cos32α. (1)【解】　(1＋tan xtan)＝(1＋) ＝·＝sin x·＝tan x. (2)【证明】　左边＝sin2αsin αsin 3α＋cos2αcos αcos 3α ＝sin αsin 3α＋ cos αcos 3α ＝(sin αsin 3α＋cos αcos 3α)＋cos 2α(－sin αsin 3α＋cos αcos 3α) ＝cos(α－3α)＋cos 2αcos(3α＋α) ＝cos 2α＋cos 2αcos 4α ＝cos 2α(1＋cos 4α) ＝cos 2α·2cos22α＝cos32α＝右边． 1．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D． 【答案】　A 【解析】　sin 2α＝2sin αcos α＝＝－. 2.等于(　　) A.sin 18° B．cos 18° C．cos 18°－sin 18° D．sin 18°－cos 18° 【答案】　B 【解析】　＝ ＝cos 18°. 3．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　B 【解析】　cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝－. 4．cos4－sin4的值为(　　) A．0 B． C．1 D．－ 【答案】　B 【解析】　原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos＝.故选B. 5．已知<α<π，cos α＝－. (1)求tan α的值； (2)求sin 2α＋cos 2α的值． 【解】　(1)因为cos α＝－，<α<π， 所以sin α＝， 所以tan α＝＝－. (2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－. 1．知识归纳： (1)二倍角公式的推导； (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简和求值． 2．方法归纳：换元思想，整体思想． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$