第5章 5.5 5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第3课时　两角和与差的正切公式 1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点、难点) 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠－1 2.两角和与差的正切公式的变形 (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－． (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝－1． 1．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) 2．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　) 3．tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.√ 一、化简求值 　计算： (1)tan(－75°)； (2)； (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)． 【解】　(1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝ ＝＝＝＝2＋， ∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－. (3)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 【反思感悟】　公式T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan＝1，tan ＝，tan＝等． 要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝. 1．求值： (1)； (2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°. 【解】　(1)＝ ＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. (2)由tan(α＋β)＝的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得 tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°. 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. 二、给值求值(角) 　已知tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 【解】　∵tan β＝－，tan(α－β)＝， ∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝， tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝＝1. ∵tan α＝>0，tan β＝－<0， ∴α∈(0，)，β∈(，π)， ∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝>0， ∴α－β∈(－π，－)， 2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－π. 【反思感悟】　给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)． 2．(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝ ． (2)若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β. (1)【答案】　2 【解析】　由题意可知 由两角和的正切公式得 tan(A＋B)＝＝＝－2， 又A＋B＋C＝π， 所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2. (2)【解】　∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴＝－1， ∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈(，π)，∴α＋β∈(π，2π)． ∴α＋β＝. 1．当tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝(　　) A.　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 【答案】　A 【解析】　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝ ＝. 2．若tan(－α)＝3，则tan α的值为 ． 【答案】　 【解析】　tan α＝tan[－(－α)] ＝ ＝＝ ＝＝. 3．tan(α－)＝，则tan α＝ ． 【答案】　 【解析】　tan α＝tan[(α－)＋]＝＝. 4．求值：＝ ． 【答案】　－ 【解析】　原式＝ ＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－. 5．已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值． 【解】　因为α，β都是锐角，所以sin α＝＝， sin β＝＝， tan α＝＝2， tan β＝＝， 所以tan(α＋β)＝＝－2. 1．知识归纳： (1)两角和与差的正切公式的推导． (2)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：整体思想． 3．常见误区：公式中加减符号易记错． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$