第5章 5.5 5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式 1．掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 2.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 Sα＋β sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差 的正弦 Sα－β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 3.重要结论——辅助角公式 y＝asin x＋bcos xsin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝． 1．sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．(　　) 2．sin(α－β)＝sin α－sin β恒成立．(　　) 3．sin 13°cos 17°＋cos 13° sin17°＝.(　　) 4．cos 71°sin 11°－sin 71°cos 11°＝－.(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.×　4.√ 一、给角求值 　计算： (1)cos 105°； (2). 【解】　(1)cos 105°＝cos (60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－×＝. (2) ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. 【反思感悟】　解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 1．化简求值： (1)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． 【解】　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α ＝(sin α＋cos α)＋(cos α－sin α)－cos α＝0. 二、给值求值 　已知<β<α<π，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值． 【解】　∵<β<α<π，∴－π<－β<－. ∴0<α－β<，π<α＋β<π. ∴sin(α－β)＝＝＝， cos(α＋β)＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) ＝×(－)－×(－)＝－， 即cos 2α＝－. 【反思感悟】　给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧． 2．已知0<α<<β<π，sin α＝，sin(α＋β)＝，则sin β＝ ． 【答案】　 【解析】　由0<α<<β<π，得<α＋β<，又sin α＝，sin(α＋β)＝，∴cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－ cos(α＋β)·sin α＝×－(－)×＝. 　(1)sin －cos＝ ． (2)已知f(x)＝sin x－cos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间． (1)【答案】　－ 【解析】　原式＝2(sin －cos)． 法一：(化正弦)原式＝2(cossin－sincos) ＝2(sincos－cossin) ＝2sin(－)＝2sin(－)＝－. 法二：(化余弦)原式＝2(sinsin－coscos) ＝－2(coscos－sinsin) ＝－2cos(＋)＝－2cos＝－. (2)【解】　f(x)＝sin x－cos x＝2(sin x·－cos x·) ＝2(sin xcos －cos xsin )＝2sin(x－)， ∴T＝＝2π，值域[－2，2]． 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 【反思感悟】　辅助角公式及其运用 (1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝·sin(α＋β)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要根据具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质． 【提醒】　在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误． 3．化简cos x－sin x等于(　　) A．2sin(＋x) B．2cos(－x) C．2sin(－x) D．2cos(＋x) 【答案】　D 【解析】　cos x－sin x＝2(cos x－sin x)＝2(coscos x－sinsin x)＝2cos(＋x)． 1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为(　　) A．0 B． C. D．cos 54° 【答案】　B 【解析】　原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝. 2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　B 【解析】　∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， ∴sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°， ∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35° ＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－. 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin(α－)＝ ． 【答案】　－ 【解析】　∵cos α＝－，α是第三象限的角，∴sin α＝－＝－， ∴sin(α－)＝sin α－cos α＝×(－)－×(－)＝－. 4．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝ ． 【答案】　cos α 【解析】　cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α. 5．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β. 【解】　∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴sin β＝，cos α＝. ∵sin α<sin β，∴α<β，∴－<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－， ∴α－β＝－. 1．知识归纳： (1)公式的推导． (2)给角求值、给值求值、给值求角． (3)公式的正用、逆用、变形用． 2．方法归纳：公式的构造，角的构造． 3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$