第5章 5.5 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 1．了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 【思考】　 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？ 【答案】　公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余·余＋正·正． 1．cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) 2．α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) 3．对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) 4．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.×　4.√ 一、给角求值 　计算下列各式的值． (1)cos ； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos 105°＋sin 105°. 【解】　(1)cos＝cos(π＋)＝－cos ＝－cos(－)＝－cos(－) ＝－(coscos＋sinsin) ＝－(×＋×)＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)cos 105°＋sin105°＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 【反思感悟】　利用两角差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值． 1．(1)cos(－15°)的值是(　　) A. B． C. D． (2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ ． (3)＝ ． 【答案】　(1)D　(2)　(3) 【解析】　(1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝. (2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°) ＝cos(－60°)＝cos 60°＝. (3)原式＝ ＝ ＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝. 二、给值求值 　已知α，β∈(0，)，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 【解】　因为α，β∈(0，)， 所以0<α＋β<π， 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝， 又sin α＝， 所以cos α＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋×＝. 【反思感悟】　给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 2．已知sin(＋α)＝，α∈(，)，求cos α的值． 【解】　∵α∈(，)， ∴＋α∈(，π)， ∴cos(＋α)＝－ ＝－＝－. ∵α＝(＋α)－， cos α＝cos[(＋α)－] ＝cos(＋α)cos ＋sin(＋α)sin ＝－×＋×＝. 三、给值求角问题 　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小． 【解】　因为sin(π－α)＝， 所以sin α＝.因为0<α<， 所以cos α＝＝. 因为cos(α－β)＝， 且0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin(α－β)＝＝， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝. 【反思感悟】　已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 【解】　由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. ∵β＝α－(α－β) ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. 1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【答案】　C 【解析】　原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝. 2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，则cos(α－β)的值为(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　A 【解析】　∵α为锐角，cos α＝， ∴sin α＝＝， ∵β为第三象限角，sin β＝－， ∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×(－)＋×(－)＝－. 3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ ． 【答案】　 【解析】　原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝. 4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ ． 【答案】　 【解析】　原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝. 5．计算：sin 60°＋cos 60°＝ ． 【答案】　 【解析】　原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝. 1．知识归纳： (1)两角差的余弦公式的推导． (2)给角求值，给值求值，给值求角． 2．方法归纳：角的构造． 3．常见误区：求角时忽视角的范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$