第4章 4.3 4.3.2 对数的运算（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

4．3.2　对数的运算

1．理解对数的运算性质．(重点)

2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)

3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．

(2)loga＝logaM－logaN．

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)

【思考】　

当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？

【解析】　提示：不一定．

2．对数的换底公式

若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝        ．

【答案】　

1．log2x2＝2log2x.(　　)

2．loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)．(　　)

3．logaM·logaN＝loga(M＋N)．(　　)

4．logx2＝.(　　)

【答案】　1.×　2.×　3.×　4.√

一、对数运算性质的应用

　计算下列各式：

(1)log5；

(2)log2(32×42)；

(3)log535－2log5＋log57－log5.

【解】　(1)原式＝log5625＝log554＝.

(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.

(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55

＝2log55＝2.

【反思感悟】　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法

(1)基本原则：

①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法：

①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

1．计算下列各式的值：

(1)lg－lg＋lg ；

(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.

【解】　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3.

二、利用换底公式化简、求值

　(1)已知log1227＝a，求log616的值；

(2)计算(log2 125＋log4 25＋log8 5)(log5 2＋log25 4＋log1258)的值．

【解】　(1)由log1227＝a，得＝a，

∴lg 2＝lg 3.

∴log616＝＝＝＝.

(2)法一：原式＝(log253＋＋)·

(log52＋＋)

＝(3log25＋＋)(log52＋＋)

＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·＝13.

法二：原式＝(＋＋)(＋＋)

＝(＋＋)(＋＋)

＝()(3)＝13.

法三：原式＝(log253＋log52＋log51)·(log52＋log22＋log23)

＝(3log25＋log25＋log25)(log52＋log52＋log52)

＝3×(3＋1＋)log25·log52＝3×＝13.

【反思感悟】　换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，然后再运用对数的运算性质对同底数的对数运算．可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．

2．(1)的值是(　　)

A.  B．