第4章 4.3 4.3.1 对数的概念（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦高中数学“对数的概念”核心知识点，从指数式引入对数定义，构建指数式与对数式的等价互化关系，明确底数范围及常用对数、自然对数记法，结合对数基本性质形成完整学习支架。 资料以“思考-辨析-例题-练习”递进设计，通过“零和负数无对数”思考培养数学眼光，互化例题训练数学思维，判断题强化数学语言表达。课中助力教师突破重难点，课后知识归纳与分层练习帮助学生查漏补缺，巩固概念与运算能力。

4．3　对数 4．3.1　对数的概念 1．理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法． 1．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念 (2)底数a的范围是a>0且a≠1． 2．常用对数与自然对数 3．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a>0且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0且a≠1)． 【思考】　 为什么零和负数没有对数？ 【解析】　提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况． 1．logaN是loga与N的乘积．(　　) 2．(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) 3．对数运算的实质是求幂指数．(　　) 4．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.√　4.√ 一、指数式与对数式的互化 　将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)2－7＝； (2)32＝－5； (3)lg 1000＝3； (4)ln x＝2. 【解】　(1)由2－7＝，可得log2＝－7. (2)由32＝－5，可得()－5＝32. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 【反思感悟】　指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式． (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝； (2)()－2＝16； 【解】　(1)log3＝－2； (3)()－3＝27；(4)()－6＝64. 二、利用指数式与对数式的互化求值 　(1)求下列各式的值． ①log981＝ ．②log0.41＝ ．③ln e2＝ ． (2)求下列各式中x的值． ①log64x＝－； ②logx8＝6； ③lg 100＝x； ④－ln e2＝x. 【答案】　(1)①2　②0　③2 【解析】　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2； ②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.4＝0； ③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. (2)【解】　①由log64x＝－得＝＝4－2＝； ②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即； ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2. 【反思感悟】　求对数式logaN(a>0且a≠1，N>0)的值的步骤 (1)设logaN＝m. (2)将logaN＝m写成指数式am＝N. (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 2．利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值． (1)log2x＝－； (2)logx25＝2； (3)log5x2＝2； . 【解】　(1)由log2x＝－，得＝x， ∴x＝. (2)由logx25＝2，得x2＝25.∵x>0且x≠1，∴x＝5. (3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. ∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5. (4)由，得log3x＝2， 所以x＝32，即x＝9. 三、利用对数性质及对数恒等式求值 　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； . 【解】　(1)∵log2(log5x)＝0， ∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. . 【反思感悟】　对数求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3．(1)设，则x＝ ． (2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】　(1)13　(2)A 1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4) 成立．其中正确的个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2　　　 D．3 【答案】　B 【解析】　(1)正确；(2)，(3)，(4)不正确． 2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 【答案】　B 【解析】　由题意知解得0<a<. 3．方程lg(2x－3)＝1的解为 ． 【解析】　由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝. 【答案】　 4．计算：＝ ． 【答案】　0 【解析】　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 5．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝； (2)()a＝b； (3)lg＝－3； (4)ln 10＝x. 【解】　(1)由2－3＝可得log2＝－3； (2)由()a＝b得＝a； (3)由lg ＝－3可得10－3＝； (4)由ln 10＝x可得ex＝10. 1．知识归纳： (1)对数的概念． (2)自然对数、常用对数． (3)指数式与对数式的互化． (4)对数的性质． 2．方法归纳： (1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化． (2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值． 3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$