第4章 4.2 第2课时 指数函数的性质的应用（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦指数函数性质的应用，承接指数函数定义与图象性质，系统梳理比较幂的大小（同底数用单调性、同指数用幂函数、不同底数指数用中间值）、解指数不等式（转化同底数或借助图象）、指数型函数的定义域值域及单调性等核心内容，搭建从基础到应用的学习支架。 通过判断题辨析易错点，例题分类详解（如比较1.7^0.2与0.9^2.1用中间值“1”），结合反思感悟培养数学思维。以解不等式(1/2)^(3x-1)≤2为例，转化为同底数后用单调性求解，体现数学语言表达逻辑，课中助教师高效授课，课后学生可借例题反思与练习查漏补缺。

第2课时　指数函数的性质的应用 1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点) 2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) 1．比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 2．解指数方程、不等式 简单指数不等式的解法： (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 3．指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． 1．y＝21－x是R上的增函数．(　　) 2．若0.1a>0.1b，则a>b.(　　) 3．a，b均大于0且不等于1，若ax＝bx，则x＝0.(　　) 4．由于y＝ax(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．(　　) 【答案】　1.×　2.×　3.×　4.× 一、利用指数函数的单调性比较大小 　比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1)． 【解】　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1， 所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数， 故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数， 故a1.1<a0.3. 【反思感悟】　比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较． (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小． (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较． (4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． 1．比较下列各值的大小： . 【解】　先根据幂的特征，将这4个数分类： (1)负数：(－)3；(2)大于1的数：，；(3)大于0且小于1的数：. 在(2)中， (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝()x，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如图)， 故有. 二、利用指数函数的单调性解不等式 　(1)解不等式()3x－1≤2； (2)已知，求x的取值范围． 【解】　(1)∵2＝()－1，∴原不等式可以转化为()3x－1≤()－1. ∵y＝()x在R上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数， ∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数， ∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5. 【反思感悟】　 1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． 2．解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔ 2．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是 ． 【答案】　(，＋∞) 三、指数型函数的定义域和值域 　求下列函数的定义域和值域： (1)y＝； (3)y＝4x＋2x＋1＋2. 【解】　(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]． 因为x≤0, 所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1， 所以∈[0，1)，即函数y＝的值域为[0，1)． (2)定义域为R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴≤()－4＝16. 又∵>0， ∴函数y＝的值域为(0，16]． (3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4x＋2x＋1＋2都有意义，所以函数y＝4x＋2x＋1＋2的定义域为R.因为2x>0，所以4x＋2x＋1＋2＝(2x)2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y＝4x＋2x＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 【反思感悟】　 1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)． (2)求t＝f(x)的定义域x∈D. (3)求t＝f(x)的值域t∈M. (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域． 3．求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)y＝()－|x|； (3)y＝. 【解】　(1)x应满足x－4≠0， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R} ∵≠0，∴≠1， ∴y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}． (2)定义域为R.∵|x|≥0， ∴y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． (3)由题意知1－()x≥0， ∴()x≤1＝()0， ∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0，x∈R}． ∵x≥0，∴()x≤1. 又∵()x>0，∴0<()x≤1. ∴0≤1－()x<1， ∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0，1)． 四、指数型函数的单调性 　(1)函数的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) (2)判断函数的单调性，并求其值域． (1)【答案】　D (2)【解】　令u＝x2－2x， 易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， 又0<<1，所以在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝()u，u∈[－1，＋∞)， 所以0<()u≤()－1＝3， 所以函数f(x)的值域为(0，3]． 【反思感悟】　函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0<a<1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相反． 4．求函数 (a>0且a≠1)的单调 区间． 【解】　设y＝au，u＝x2＋2x－3， 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， 得u在(－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 当a>1时，y关于u为增函数； 当0<a<1时，y关于u为减函数， ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞)． 1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不能确定 【解析】　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n. 【答案】　B 2．f(x)＝()|x|，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 【解析】　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝()x是减函数． 【答案】　D 3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于 ． 【解析】　由题意可知，f(0)＝＝＝0，∴m＝1. 【答案】　1 4．不等式23－2x<0.53x－4的解集为 ． 【解析】　原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}． 【答案】　{x|x<1} 5．比较下列各组值的大小： (1)1.8－0.1，1.8－0.2； (2)1.90.3，0.73.1； (3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1)． 【解】　(1)因为函数y＝1.8x是R上的增函数，且－0.1>0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2. (2)因为1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是R上的增函数，又1.3<2.5，故a1.3<a2.5； 当0<a<1时，函数y＝ax是R上的减函数，又1.3<2.5，故a1.3>a2.5. 1．知识归纳：指数函数的图象与性质的应用：比较大小，解不等式及简单复合函数的单调性． 2．方法归纳：转化与化归，换元法． 3．常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$