第4章 4.1 4.1.1 n次方根与分数指数幂（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦n次方根与分数指数幂核心知识点，从初中方根概念扩展到n次方根，系统梳理根式性质、分数指数幂意义及运算性质，搭建从具体到抽象的学习支架，为指数函数学习奠定基础。 通过“思考”探究（如a的取值范围）培养抽象能力（数学眼光），判断题和例题辨析（如()ⁿ与的区别）发展推理意识（数学思维），互化练习提升符号表达（数学语言）。课中助力教师突破重难点，课后练习题与反思总结帮助学生巩固，弥补知识盲点。

第四章　指数函数与对数函数 4．1　指数 4．1.1　n次方根与分数指数幂 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 1．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a． (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0． (4)负数没有偶次方根． 【思考】　 ()n中实数a的取值范围是任意实数吗？ 【解析】　提示：不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R； 当n为大于1的偶数时，a≥0. 3．分数指数幂的意义 分 数 指 数 幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 【思考】　 在分数指数幂与根式的互化公式＝中，为什么必须规定a>0? 【解析】　提示：①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究价值． ②若a<0，＝不一定成立，如＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0. 4．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 1．实数a的奇次方根只有一个．(　　) 2．当n∈N*时，()n＝－2.(　　) 3.＝π－4.(　　) 4．0的任何指数幂都等于0.(　　) 5．.(　　) 6．分数指数幂与根式可以相互转化，如＝.(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.×　4.×　5.×　6.× 一、n次方根的概念 　(1)27的立方根是 ． (2)已知x6＝2 019，则x＝ ． (3)若有意义，则实数x的取值范围为 ． 【答案】　(1)3　(2)±　(3)[－3，＋∞) 【解析】　(1)27的立方根是3. (2)因为x6＝2 019，所以x＝±. (3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． 【反思感悟】　 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定． ①当n为偶数，且a≥0时，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． 1．(1)已知x7＝8，则x等于(　　) A．2 B． C．－ D．± (2)若有意义，则x的取值范围是 ； 若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】　(1)B　(2)[－，＋∞]　R 二、利用根式的性质化简或求值 　化简： (1) ； (2) (a>b)； (3)()2＋＋. 【解】　(1)＝|3－π|＝π－3. (2)∵a>b， ∴＝|a－b|＝a－b. (3)由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1. 【反思感悟】　正确区分与()n (1)()n已暗含了有意义，据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 2．化简： (1)； (2)(a≤1)； (3)＋. 【解】　(1)＝－2. (2)∵a≤1，∴＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a. (3)＋＝a＋|1－a|＝ 三、根式与分数指数幂的互化 　(1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0)． ①·；② ；③()2·. 【答案】　(1)C 【反思感悟】　根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子. (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 3．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： 1．已知 ＝a－b，则(　　) A．a>b B．a≥b C．a<b D．a≤b 【答案】　B 2．在①；②；③；④中，n∈N*，a∈R时各式子有意义的是(　　) A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】　B 3．化简：·的结果为(　　) A．－ B．－ C. D． 【答案】　A 4．()－1－4·(－2)－3＋()0－＝ ． 【答案】　 5．化简·＝ ． 【答案】　 1．知识归纳： (1)n次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质． (3)根式与分数指数幂的互化． 2．常见误区： (1)根式中根指数要求n>1且n∈N*. (2)对于，当n为偶数时，a≥0. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$