第3章 函数的概念与性质 章末复习课（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理函数章末知识体系，将求定义域、解析式、分段函数、函数性质及图象等核心要点按逻辑关系整合，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于“要点梳理+题型示例+方法指导”的设计，如求函数解析式时通过换元法、配凑法例题演示解题思路，培养数学思维与运算能力。基础题与综合题结合，满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升学生自主复习效率。

章末复习课 要点一　求函数的定义域 1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是各部分定义域的交集． 2．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养． 　(1)函数y＝＋的定义域为(　　) A．(－，) B．[－，] C．(－∞，] D．(－，0)∪(0，＋∞) (2)若函数y＝f(x)的定义域是[－2，4]，则函数g(x)＝f(－x)的定义域是 (　　) A．[－4，4] B．[－4，2] C．[－4，－2] D．[2，4] 【答案】　(1)B　(2)B 1．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为(　　) A．(－∞，) B．(，1) C．(－，) D．(－∞，)∪(，1) 【答案】　D 要点二　 求函数的解析式 　求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)． (3)含f(x)与f(－x)或f(x)与f()，使用解方程组法． (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 　(1)已知f(x－1)＝2x＋5，则f(x)的解析式为 ． (2)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且∀x，y∈R，都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝ ． 【解析】　(1)法一：(换元法)　设x－1＝t，则x＝t＋1， ∴f(t)＝2(t＋1)＋5＝2t＋7， ∴f(x)＝2x＋7. 法二：(配凑法)　f(x－1)＝2x＋5＝2(x－1)＋7，所以f(x)＝2x＋7，即函数的解析式为f(x)＝2x＋7. (2)法一：由已知条件得f(0)＝1， 又f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 设y＝x，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)． 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换得f(x)＝x2＋x＋1. 【答案】　(1)f(x)＝2x＋7　(2)x2＋x＋1 2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝ ． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件： ①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式． (1)【答案】　x＋ 【解析】　因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋. (2)【解】　因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝，所以f(x)＝x2＋x＋. 要点三　 分段函数 1．求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 2．已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 3．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 　设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f()＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】　C 【解析】　当0<a<1时，a＋1>1，f(a)＝， f(a＋1)＝2(a＋1＋1)＝2a， ∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，解得a＝. ∴f()＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 当a>1时，a＋1>2，∴f(a)＝2(a－1)， f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a， ∴2(a－1)＝2a，无解． 当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意． 综上，f()＝6. 3．设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝则f()＝ ． 【解析】　∵f(x)＝f(x＋2)，∴周期为2， ∴f()＝f(－2)＝f(－)＝－4×(－)2＋2＝1. 【答案】　1 要点四　函数的概念与性质 　函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． 　已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 【解】　(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知 所以1<a≤3， 故实数a的取值范围是(1，3]． 4．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 【解】　(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－＝. 比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝， ∴＝，解得m＝2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数． ∴f(x)max＝f(－1)＝－， f(x)min＝f(－2)＝－. 要点五　函数图象的画法及应用 1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养． 　已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． 【解】　(1)当－x2＋2x＋3≥0时， 得－1≤x≤3，函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0，得x<－1或x>3， 函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即y＝的图象如图所示，单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3)． (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0<m<4. 故集合M＝{m|0<m<4}． 5．设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3，4)且过点A(2，2)的抛物线的一部分． (1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (3)写出函数的单调区间及值域． 【解】　(1)函数的图象如图所示： (2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4，代入点(2，2)， 所以a(2－3)2＋4＝2，解得a＝－2， 故f(x)＝－2(x－3)2＋4， 设x∈(－∞，－2)，则－x∈(2，＋∞)， 所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4＝－2(x＋3)2＋4. 又因为f(x)为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)． (3)由图象观察可知f(x)的值域为{y|y≤4}， 单调增区间为(－∞，－3]和[0，3]， 单调减区间为[－3，0]和[3，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$