第3章 3.4 函数的应用(一)（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦函数模型的应用，系统梳理一次函数、二次函数、分段函数等模型的解析式及实际应用，构建“模型识别-实例分析-反思提炼”的学习支架，帮助学生掌握从实际问题中抽象函数关系、求解最值的完整步骤。 通过报刊亭卖报、桶装水定价等生活实例，以“问题情境-建模求解-反思感悟”环节，培养学生用数学眼光观察现实（发现数量关系）、用数学思维推理（函数单调性分析）、用数学语言表达（分段函数关系式）的核心素养。课中实例助教师直观教学，课后练习题与反思帮助学生巩固建模方法，查漏补缺。

3．4　函数的应用(一) 1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点) 常见的几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 一、一次函数模型的应用实例 　某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元．卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大． 【解】　设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸； 每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份； 每月退回报社报纸共10×(x－250)份． 依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)． 即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2500)， 化简得y＝1.6x＋800， 其中250≤x≤400， 因为此一次函数(y＝kx＋b，k≠0)的k＝1.6>0， 所以y是一个单调增函数， 再由250≤x≤400知， 当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)． 所以买进400份所获利润最大，获利1 440元． 【反思感悟】　 1．一次函数模型的实际应用 应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． 2．一次函数的最值求解 一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 1．某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示． (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式． (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？ 【解】　(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由图象可知，当x＝60时，y＝6； 当x＝80时，y＝10. 所以解得k＝，b＝－6. 所以y与x之间的函数关系式为y＝ (2)根据题意，当y＝0时，x≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 二、幂函数与二次函数模型 　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为 万元． 【答案】　125 【解析】　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125. (2)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示． 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 【解】　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶， 设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量为 480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)． y＝520－40x>0，则0<x<13. 令(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200 ＝－40(x－6.5)2＋1 490，0<x<13. 易知，当x＝6.5时，y有最大值． 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润． 【反思感悟】　 1．幂函数应用的常见题型 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意直接列出相应的函数关系式． 2．利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米． 【答案】　0.5 【解析】　若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系(图略)，则抛物线的对称轴为x＝1. 设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5， 当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，解得a＝2. 所以y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5， 所以绳子的最低点距地面的距离为0.5米． 三、分段函数模型 　经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值． 【解】　(1)根据题意得 S＝ 即S＝ (2)①当1≤t≤30，t∈N时， S＝－(t－20)2＋6 400， 当t＝20时，S的最大值为6 400. ②当31≤t≤50，t∈N时， S＝－90t＋9 000为减函数， 当t＝31时，S的最大值是6 210. 因为6 210<6 400， 所以当t＝20时，日销售额S有最大值6 400. 【反思感悟】　 1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． 2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． 3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，比较后再下结论． 3．某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表： t/天 5 10 20 30 Q/件 35 30 20 10 (1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式； (2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式； (3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)． 【解】　(1)由已知可得： P＝ (2)日销售量Q与时间t的一个函数式为 Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)． (3)由题意 y＝ ＝ 当0<t<25，t＝10时，ymax＝900， 当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1 125. ∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元． 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 【答案】　D 【解析】　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)． 2．网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”． 中国鞋码实际标准(mm) 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 中国鞋码习惯叫法(号) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为(　　) A．150毫米 B．200毫米 C．180毫米 D．210毫米 【解析】　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码，则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B. 【答案】　B 3．国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为(　　) A．2 800元 B．3 000元 C．3 800元 D．3 818元 【答案】　C 【解析】　由题意知，纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为 y＝ 令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800， 令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去)．故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C. 4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 m. 【答案】　3 5．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【解】　设可获得总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680，0≤x≤210. ∵R(x)在[0，210]上是增函数， ∴当x＝210时， R(x)max＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)． ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 1．知识归纳：实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型． 2．方法归纳： 解函数应用题的基本步骤：审题，建模，求模，还原． 3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$