第3章 3.3 幂函数（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦幂函数这一核心知识点，系统梳理概念、常见幂函数（y=x, x², x³, x^(1/2), x⁻¹）的图象与性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）及应用，形成从概念引入到图象观察、性质归纳再到比较大小等应用的完整学习支架。 资料通过判断题辨析易错点，表格对比性质培养推理意识，例题分层设计（概念辨析、图象应用等）提升抽象能力与应用意识。课中辅助教师清晰呈现知识体系，课后练习题与总结帮助学生巩固，查漏补缺。

3．3　幂函数 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 3．幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增 函数 增 函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 1．幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)．(　　) 2．幂函数的图象一定不能出现在第四象限．(　　) 3．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数．(　　) 4．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.√　4.× 一、幂函数的概念 　(1)下列函数： ①y＝x3；②y＝()x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．3 D． 4 【答案】　B 【解析】　幂函数有①⑥两个． (2)已知y＝(m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【解】　由题意得 解得或 所以m＝－3或1，n＝. 【反思感悟】　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 1．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于 ． 【答案】　16 【解析】　设f(x)＝xα，因为f(4)＝16， ∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 二、幂函数的图象及应用 　(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P(2，)，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． 【解】　因为f(x)＝xα的图象过点P(2，)， 所以f(2)＝， 即2α＝， 得a＝－2， 即f(x)＝x－2， f(x)的图象如图所示． 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． (2)下列关于函数y＝xα与y＝αx(α∈)的图象正确的是(　　) 【答案】　C 【反思感悟】　解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)； (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． 2.如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2，2， D．2，，－2，－ 【答案】　B 【解析】　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B. 三、比较幂值的大小 　比较下列各组数的大小． (1)()0.5与()0.5； (2)(－)－1与(－)－1； 【解】　(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，所以()0.5>()0.5. (2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－， 所以(－)－1>(－)－1. (3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的， 所以()>1＝1， 又在(0，＋∞)上是单调递增的， 【反思感悟】　比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”． 3．比较下列各组数的大小： 【解】　(1)函数在(0，＋∞)上为减函数， 四、幂函数性质的综合应用 　已知函数 (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围． 【解】　(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， ∴m与m＋1中必定有一个为偶数， ∴该函数的定义域为[0，＋∞)， 由幂函数的性质，该函数在定义域上单调递增． (2)∵该函数图象过点(2，)， ∴m2＋m＝2，∴m＝1(m∈N*)． 由f(2－a)>f(a－1)，得 解得1≤a＜. 故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)． 【反思感悟】　解决幂函数的综合问题，应注意以下两点 (1)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等； (2)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合思想． 4．已知幂函数的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围． 【解】　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0， 解得m<3.又因为m∈N*， 所以m＝1，2. 因为函数的图象关于y轴对称， 所以3m－9为偶数，故m＝1. 则原不等式可化为 因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a， 解得<a<或a<－1. 故a的取值范围是 1．设a∈，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　) A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3 【答案】　A 【解析】　当a＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数．当a＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A. 2．下列不等式成立的是(　　) 【答案】　A 3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 ． 【答案】　－ 4．已知y＝(2a＋b)xa＋b＋(a－2b)是幂函数，则a＝ ，b＝ ． 【答案】　 【解析】　　由题意得解得 5．给出以下结论： ①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点； ③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限，则正确结论的序号为 ． 【答案】　④ 【解析】　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 1．知识归纳： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式． (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想． 3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其他形式都不是幂函数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$