第3章 3.2 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦函数奇偶性的应用核心知识点，系统梳理利用奇偶性求解析式的“求谁设谁”步骤，以及奇偶性与单调性结合比较大小、解不等式的方法，通过例题解析、练习题及总结构建完整学习支架。 资料通过判断题辨析奇偶性常见误区，例题解析结合反思感悟提炼解题逻辑，培养学生数学思维中的推理意识和抽象能力。课中助力教师引导学生掌握转化方法，课后学生可借助练习题和总结巩固知识，弥补理解盲点。

第2课时　奇偶性的应用 1．会根据函数奇偶性求函数值或解析式． 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题． 1．利用奇偶性求解析式： 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 2．函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性相同． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反． 1．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(　　) 2．对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(　　) 3．若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(　　) 4．若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.×　4.√ 一、利用函数的奇偶性求解析式 　(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 【解】　(1)设x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴当x<0时，f(x)＝－x－1. 又x＝0时，f(0)＝0， 所以f(x)＝ (2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． 由f(x)＋g(x)＝，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝. 【反思感悟】　 (1)求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式． (2)f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x. 利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)． 1．(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． (1)【解】　因为x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)． 因为f(x)是R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．f(0)＝0. 所以f(x)＝ (2)【解】　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x， 得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， ∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 　若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　) A．f(－)<f(－1)<f(2) B．f(2)<f(－)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(－) D．f(－1)<f(－)<f(2) 【解析】　∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)． 又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1. ∴f(2)＝f(－2)<f(－)<f(－1)，故选B. 【答案】　B 【反思感悟】　比较大小的求解策略 看自变量是否在同一单调区间上． (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 2．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是 ． 【答案】　f(－2)<f(－3)<f(π) 【解析】　因为f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，又当x≥0时， f(x)是增函数，所以f(2)<f(3)<f(π)，即f(－2)<f(－3)<f(π)． 三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式 　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则<0的解集为 ． 【答案】　(1){x|－3<x<0或x>3} 【解析】　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数． ∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x>0时，由f(x)<0，解得x>3； 当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}． (2)设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 【解】　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上是减函数． 所以f(x)在[－2，2]上是减函数． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于 解得－1≤m＜. 所以实数m的取值范围为[－1，)． 【反思感悟】　解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域． 由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解． 3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围为(　　) A．(，)　　　　　　 B．[，) C．(，) D．[，) 【答案】　A 【解析】　由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)<f()，即－<2x－1<. 解得<x<. 1．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是(　　) A．f(－3)>f(0)>f(1) B．f(－3)>f(1)>f(0) C．f(1)>f(0)>f(－3) D．f(1)>f(－3)>f(0) 【答案】　B 2．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得(　　) A．a<b B．a>b C．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0 【答案】　C 3．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝ ． 【答案】　－x＋1 4．奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为 ． 【答案】　(－∞，－1]，[1，＋∞) 5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是 ． 【答案】　(－1，3) 1．知识归纳： (1)利用奇偶性，求函数的解析式． (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式． 2．方法归纳： 利用函数的奇偶性、单调性画出函数的简图，利用图象解不等式和比较大小，体现了数形结合思想和直观想象数学素养． 3．常见误区：解不等式易忽视函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$