第3章 3.2 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念（教用Word）-【金榜题名】2026-2027学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

本讲义聚焦函数奇偶性的概念这一核心知识点，系统梳理奇函数与偶函数的定义、定义域关于原点对称的前提条件、图象对称性特征，构建“概念辨析-性质探究-应用实践”的学习支架，衔接从定义理解到判断方法、图象应用及参数求解的知识脉络。 资料通过辨析题强化定义域对称性等易错点，培养严谨数学思维。例题分层设计，结合反思感悟提炼方法，借助图象应用环节发展几何直观，体现数学眼光与思维。课中助力教师突破难点，课后便于学生通过练习与总结查漏补缺，巩固知识体系。

3．2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 1．理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法． 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 【思考】　 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 【解析】　提示：定义域关于原点对称． 1．奇、偶函数的定义域都关于原点对称．(　　) 2．函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于原点对称．(　　) 3．对于定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，则函数f(x)一定是偶函数．(　　) 4．不存在既是奇函数又是偶函数的函数．(　　) 【答案】　1.√　2.×　3.×　4.× 一、函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋. 【解】　(1)f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数． (2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数． (3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称， ∴f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数． (4)f(x)＝＋的定义域为{－1，1}． ∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0， ∴f(x)＝＋既为奇函数，又为偶函数． 【反思感悟】　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： ①定义域关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系． (2)图象法． 1．判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 【解】　(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝是非奇非偶函数． (2)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称． f(－x)＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称， 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 二、奇、偶函数图象的应用 　已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 【解】　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称． 由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示． (2)由图知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5)． (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题． 【解】　(1)如图所示 (2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5)． 【反思感悟】　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． 2．定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)画出f(x)的图象； (2)解不等式xf(x)>0. 【解】　(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图． (2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)． 三、利用函数的奇偶性求参数值 　(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝ ，b＝ ． (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 【答案】　(1)　0　(2)0 【反思感悟】　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解． 3．(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝ ． (2)已知函数f(x)是奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2＋mx.若f(2)＝－3，则m的值为 ． 【答案】　(1)0　(2) 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 【答案】　B 【解析】　B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性． 2．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 【答案】　C 【解析】　∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1. 3．函数f(x)＝|x|＋1是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【解析】　∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 【答案】　B 4．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 【答案】　0 【解析】　∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＋f(x)＝0， ∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0. 5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 【解】　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 1．知识归纳： (1)函数奇偶性的概念． (2)奇函数、偶函数的图象特征． 2．方法归纳：特值法、数形结合法． 3．常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能具有奇偶性． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$